125 |
1 |
-201 |
-2,72 |
0,0099 |
0,67 0,7 |
|
|
|
|
|
|
175 |
3 |
-151 |
-2,05 |
0,0488 |
3,31 3,3 |
|
|
|
|
|
|
225 |
10 |
-101 |
-1,37 |
0,1561 |
10,58 10,6 |
|
|
|
|
|
|
275 |
20 |
-51 |
-0,69 |
0,3144 |
21,31 21,3 |
|
|
|
|
|
|
325 |
33 |
-1 |
-0,04 |
0,3986 |
27,01 27,0 |
|
|
|
|
|
|
375 |
17 |
49 |
0,66 |
0,3209 |
21,75 21,8 |
|
|
|
|
|
|
425 |
11 |
99 |
1,34 |
0,1626 |
11,02 11 |
|
|
|
|
|
|
475 |
4 |
149 |
2,02 |
0,0519 |
3,52 3,5 |
|
|
|
|
|
|
525 |
1 |
199 |
2,70 |
0,0104 |
0,70 0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
5. Вычислим наблюдаемые значения X2 c помощью таблицы № 3
m i
1
3
10
20
33
17
11
4
1
0,7 1
3,3 3
10,6 11
21,3 21
27,0=27
21,8 22
11,0=11
3,5 3
0,70 1
mm*
ii
0,3
-0,3
-0,6
-1,3
3,0
-4,8
0,0
0,5
0,3
0,09
0,09
0,36
1,69
9,00
23,04
0,00
0,25
0,09
Таблица № 3
0,13
0,03
0,03
0,08
0,33
1,06
0,00
0,07
0,18
1,91 набл2
набл2 1,91
6. Число степеней свободы k=S-3=9-3=6, где S- число групп (интервалов).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найдём |
|
2 |
крит.(табл.) по уровню значимости |
0,05 |
и k=6 (число степеней |
|
свободы): |
2 |
|
|
12,6 |
|
|
|
табл(крит) |
|
|
|
8. |
Сравним |
|
2 |
|
и |
2 |
|
|
набл |
крит : 1,91< 12,6 |
|
|
Так как |
|
2 |
|
|
2 |
то эмпирические данные не противоречат предположению о |
набл |
крит , |
нормальном распределении данной выборки, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины X- средней заработной платы принимается на уровне значимости 0,05
|
|
9. Убедиться наглядно о величине расхождения эмпирических и теоретических частот. |
|
|
Построим точки: |
(xi , mi ) : (125;1), (175;3), (225;10), (275;20), (325;33), (375;17), (425;11), (475;4), (525;1). |
(x |
i |
, m* ) : (125;1), (175;3), (225;11), (275;21), (325;27), (375;22), (425;11), (475;3) (525;1) |
|
i |
и соединим точки теоретического распределения плавной линией, эмпирического распределения - ломаной линией.
40
30
20
10
3
1
125 175 225 275 325 375 425 475 525
а) Так как aS 0,9>0, значит наблюдается левосторонний скос кривой. Это говорит о том, что получение заработной платы выше среднейсобытие более достоверное.
б) ek 0,056 0, т.е. наблюдается небольшой эксцесс. Так как e k >0, то отклонение от нормы наблюдается в сторону завышения, хотя и не очень большого.
10.3. Вопросы для самопроверки
Записать формулу для нахождения значений величины Какому закону подчиняется величина X 2 ?
Как найти значение |
X |
2 |
по таблице? |
|
4.Как подсчитать число степеней свободы?
5.Сформулируйте решающее правило при использовании критерия X 2 в
предположении нормального распределения данной выборки.
6. При решении каких статических задач применяется критерий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
В ЗАДАЧАХ 211-300 найти вероятности указанных событий, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.
211. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна
0,95; второй сигнализатор срабатывает с вероятностью 0,80. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
212. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 0,15. Проверено три изделия.
Какова вероятность того, что два из них бракованные?
213.В группе студентов, состоящей из 20 человек, 12 юношей и 8 девушек. Для дежурства случайным образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будет один юноша и одна девушка?
214.В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартны. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартны?
215.Студент знает 15 из 20 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает все три вопроса, предложенные экзаменатором?
216.Техническое устройство содержит три независимо работающих элемента.
Вероятности отказа этих элементов соответственно равны 0,05; 0,07 и 0,09. Найти
вероятность того, что техническое устройство не сработает, если для этого достаточно,
чтобы отказал хотя бы один элемент.
217. Для поражения цели достаточно одного попадания. По цели произведено три выстрела с вероятностями попадания 0,75.; 0,85; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
218. Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя бы один раз для некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
219. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того,
что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,3. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два будут высшего сорта.
220. Исследователь разыскивает нужные ему сведения в трех справочниках.
Вероятности того, что эти сведения находятся в первом, во втором и в третьем справочнике равны соответственно 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что требуемые сведения содержатся хотя бы в одном справочнике.
В ЗАДАЧАХ 221-230 две независимые дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины.
221. |
X |
-6 |
8 |
9 |
10 |
|
Y |
-8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,1 |
0,1 |
0,6 |
0,2 |
|
P |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222. |
X |
-2 |
-1 |
0 |
3 |
|
Y |
-3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
|
P |
0,3 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
223. |
X |
-5 |
-4 |
-2 |
3 |
|
Y |
-8 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
|
P |
0,7 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
224. |
X |
-6 |
-3 |
2 |
1 |
|
Y |
-2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
|
P |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225. |
X |
-4 |
-2 |
-1 |
3 |
|
Y |
-3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
|
P |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
226. |
X |
-2 |
0 |
1 |
4 |
|
Y |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,5 |
0, |
0,2 |
0,2 |
|
P |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
227. |
X |
-7 |
-5 |
-2 |
3 |
|
Y |
-3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,4 |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
|
P |
0,1 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
228. |
X |
-1 |
2 |
4 |
8 |
|
Y |
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
|
P |
0,8 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
229. |
X |
-8 |
-6 |
-1 |
5 |
|
Y |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
|
P |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
230. |
X |
-2 |
1 |
3 |
8 |
|
Y |
7 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
|
P |
0,1 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В ЗАДАЧАХ 231-240 предполагается, что случайные отклонения контролируемого размера детали, изготовленной станком-автоматом от проектного размера подчиняются нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением (мм) и
математическим ожиданием a=0. Деталь, изготовленная станком-автоматом , считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превышает m (мм). Сколько процентов годных деталей изготовляет станок?
231. |
m= 40, |
22; |
|
233. |
m= 50, |
30; |
|
235. |
m= 45 |
20; |
|
237. |
m= 32, |
18; |
|
239.m= 50, 28;
ВЗАДАЧАХ 241-250
вероятностей F (x). Найти :
232.m=60,
234.m=35,
236.m= 28,
238.m= 44,
240.m= 38,
случайная величина X
35;
17;
16;
20;
16;
задана функцией распределения
|
1 |
; |
2 |
; |
а) вероятность попадания случайной величины X в интервал |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
б) плотность распределения вероятностей случайной величины X ;
в) математическое ожидание случайной величины X.
|
|
0 при x |
1 |
, |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
при |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
; |
|
|
1 при x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при x 0, |
|
x |
1 |
x |
2 |
|
1 |
x при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при x 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В ЗАДАЧАХ 251-260 известно, что проведено n равноточных измерений некоторой
физической величины и найдено среднее арифметическое результатов измерений |
x |
. Все |
|
измерения проведены одним и тем же прибором с известным средним квадратичным
отклонением ошибок измерений. |
Считая результаты |
|
измерений |
нормально |
распределённой случайной величиной, найти с надёжностью |
|
доверительный интервал |
|
для оценки истинного значения измеряемой физической величины.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
x 40,2; x 83,1;
x 45,7;
x48,9;
x20,3;
x 73,2;
2,3;
3,2;
3,7;
4,1;
1,8;
5,7;
0,90;
0,95;
0,93;
0,85;
0,95;
0,92;
n=16. n=24. n=9. n=15. n=18. n=25.
x 88,3;
x 68,1;
x 72,8;
x 83,7;
В ЗАДАЧАХ 261-270 по заданной выборке значений случайной величины выполнить лабораторную работу. Тема: Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения данной случайной величины.
Приложение 1. Таблица неопределённых интегралов
|
u |
a 1 |
|
|
|
C (a 1) |
|
|
|
|
a 1 |
|
|
|
u dx |
ln u C |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
u |
|
a |
u |
du |
|
C |
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
cosudu sin u C |
|
du |
ctgu C |
|
|
|
2 |
sin |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
u |
du e |
u |
C |
|
|
|
|
|
|
sin udu cosu C |
|
|
|
|
du |
tgu C |
|
|
|
|
|
|
cos2 u |
|
|
|
du |
|
|
1 |
arctg |
u |
C |
a |
2 |
u |
2 |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
du |
|
arcsin |
u |
C |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a 2 u 2 |
|
10. |
|
|
2 |
du |
2 |
|
u |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
du |
|
|
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
u a |
C |
|
|
|
|
du |
|
|
1 |
|
ln |
a u |
C |
2a |
u a |
|
a |
2 |
u |
2 |
2a |
a u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
ln tg |
u |
|
ln u u 2 a2 |
C |
|
12. |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin u |
|
2 |
|
C