Математика 3 семестр

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

z x sin xy 8x

z 8cos xy 3x 12x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	в)	y e				tgx				ln 2x,
		y e								ln 2x,

															3									3
44.	а)	y 4x2																					4 ,


																	x
	в)	y	2		8x			tg3x,
		y	2					tg3x,

		y	x										x									5	,
45.	а)	y	x			5					3		x						1				,
45.	а)
	в)	y ectgx								sin 4x,
													2											2
								2					2												,
46.	а)	y 6x													4			5							,
46.	а)												x		4
													x
				tgx				arcsin x													2	,
	в)	y 3						arcsin x														,
	в)
		y x					4							x										3	,
47.	а)	y x			3		4					4		x			3			2					,
					3							4					3

	в)	y e		ctgx					cos6x,
		y e							cos6x,

		y x 2 25														4 4 ,
48.	а)	y x 2 25											x			4 4 ,
48.	а)
	в)	y 4	cos x				arctg2x,
		y 4					arctg2x,

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

y cos

sin 2x

cos5x

y arcsinln 4x.

1 4x

tgx

y sin ln5x.

cos3x

y lnsin 6x.

arctg7x

2 9x

y sin ln 2x.

e x

9x5

y lncos5x.

49.а)

в)

50.а)

в)

						5			5
		3x			5	5			,
y		3x					3	2	,
						x	3
						x
y e	x		3	tg7x,
	x

y x 4 23 x 1 2 ,

y 2sin x arcsin2x,

б)

г)

б)

г)

y cossin 36xx ,

y arcsinln 2x.

y3 5x3 , e x ctgx

y lncos7x.

В ЗАДАЧАХ 51-60 1). исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. 2). Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке ; .

51.	a)	y 2x3 9x2 12x 5;				= -1;	= 3;
	б)	y	x2	1	.
	б)	y		x	.
				x

52.а)

б)

53.а)

б)

54.а)

б)

55.a)

б)

56.а)

б)

57.а)

б)

58.а)

б)

59.а)

б)

60.а)

б)


y x		3	6x		2	9x 1,

y	x 2			.

	x 1
y x3			3x2			9x 10,

yx 2 3 . x 2

y x			3	3x			2	9x 10,

y	x 2			8	.
	x			3

y x		3		6x		2		9x 2,

yx2 9 . x 4

y 2x3 3x2 12x 5,

	x	2	4
y				.
			x

y 2x				3	3x		2	12x 8,
				3			2
	x	2		3
		2
y	x		1			.
	x		1

= -1; =2;

=2, =4;

= -1, =2;

=0, =4;

=-2, =3;

=-3, =0;

y 2x	3	9x	2	12x 7,	= -3,	=1;

yx2 5 . x 2

y 2x	3	15x	2	36x 32,	=1,	=4;
	3		2

yx2 5 . x 3

y 2x3 3x2 36x 20,				= -1,	=4;
y	x2	15	.

	x 4
	x 4

Решить ЗАДАЧИ 61-70 используя понятие экстремума функции.

61.Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6 см?

62.Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

63.Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S=24

(м2)

64. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна

(м).

64. Объем правильной треугольной	призмы равен V= 16 (м3). Какова должна
быть длина стороны основания призмы,	чтобы ее полная поверхность была наименьшей?

65.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 (см3), причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

66.Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового

конуса

(высота

заданной вместимости	V	9	(м3). Каковы должны быть размеры конуса
		2

и радиус основания), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

67.Найти прямоугольник наибольшей площади, если сумма длин его катета и гипотенузы постоянна и равна. 4 (см).

68.Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

69.Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма ' их кубов была наименьшей.

70.Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, длина которой 72 м. Каковы должны быть размеры огорода, чтобы его площадь была максимальной?

В ЗАДАЧАХ 71-80 найти приближённое значение функции y =f(x), заменяя приращение функции y соответствующим дифференциалом dy.

71.y 3 3x2 8x 16 ,

72.	y				5x			2		4x 1		,
								2

73.	y		5		x	2			2x 8			,
			5			2

74.	y		4		x	3			6x 7		,
			4			3

75.	y	3		2x			2			2x 13		,
	y			2x						2x 13

76.	y			3x			2			5x 2		,
							2

77.	y		4	5x			4			2x 3		,
			4				4


78.	y				3x2 6x 5 ,

x=3,94

x=5,08

x= 5,84

x=4,06

x= -7,85

x= 9,08

x=1,92

x= 7,05

79.

80.

y	3	x	3		3x	2	8

y	4	8x		2	6x 9

x= -4,03

x= 2,88

В ЗАДАЧАХ 8190 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.

81.

83.


z 3sin x			3	y	2	5x				3	y 7;

z 2e	3 x y	2		2x		2	y	2	9 y;

82.

84.

87.

89.

85.z 3 x 2 y 2 5xy3


z 0,5ln x			3	y		2	9x	3	y

z 8e	x y	3		3xy	3		7x 3;

8 y;

2x;

90.

86.	z x sin xy

88. z x 2 y 3x 4

z 8ln x	2	y	2	6x

8x	2	y	2	7x;

y 8x 2;

8x 1.

В ЗАДАЧАХ 91-100 задана функция z = f (x,y). Найти градиент и

производную этой функции в заданной точке M (x0, y0) в направлении вектора составляющего угол с положительным направлением оси OX.

91.	z	1	x		2		1	xy	3	,	M 1, 1 ,						;
	z		x					xy		,	M 1, 1 ,						;

		3					4									4
		3					4									4
	z tgx x 2sin y,												,				;
92.	z tgx x 2sin y,										M		,		,		;
92.												4		3		4


93.	z	3x		2		y		xy,			M (2,2),						;
				2
																6


	z 2 cos x y 2x,
94.	z 2 cos x y 2x,										M		,	6	,	3	;
											6			6		3
	z x sin x y 1,												,				;
95.	z x sin x y 1,										M		,		,		;
95.												6		6		4

96.	z =ln (x2+y2),				M (3,4),			;
						6
	z	x3	y 4				;
97.				,	M (1,-2),	4
97.		3	4	,	M (1,-2),
		3	4

z xtgy cos x,

;

98.

99.

z ln x

2 y xy,

M (1,1),

;

100.

z e

(2,2),

;

В ЗАДАЧАХ 101-110

найти экстремум заданной функции.

101. z x2

xy y2

3x 6y 2;

102. z 2x2

xy y2

3x y 1;

103.

2xy y

2y 3;

104.

z 2x

xy y

7x 5y 2;

105.

z x

3xy y

2x 6y 1;

106.

xy 6y

6x y 9;

107.

z x

3xy 2y

6y 2;

108.

2xy y

2x 4y 1;

xy y

x 2y 8;

xy 2y

16x y 1;

z 0,5x

110.

z 8x

109.

Раздел 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

6.1 Определение неопределённого интеграла Непосредственное интегрирование

Определение 1. Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ), если

F´ ( x )=f ( x ) и dF ( x )= f ( x )dx.

Если функция f ( x ) имеет первообразную F ( x ), то она имеет бесчисленное множество первообразных вида F ( x )+С, где C- постоянная.

(x)dx

Знак

Определение 2. Неопределённым интегралом от функции f (x) или от выражения f называется совокупность всех её первообразных.

		Обозначение: f x dx F x C
		- знак интеграла
		- знак интеграла

f (x)- подынтегральная функция

f (x)dxподынтегральное выражение

x- переменная величина ( аргумент функции ) F (x)- первообразная

F(x)+С –совокупность первообразных.

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции.

Свойства дифференциалов

1.	dx
2.	dx

dcx

c d x

с- const

c	Например :

dx d x 10 d x 5 ...

Под непосредственным интегрированием понимается сведение подынтегрального выражения к табличному виду путём использования тождественных преобразований, таблицы и свойств неопределённых интегралов и дифференциалов.

Например: Найти

		x 2
	3	2
J	3
J		x	dx
		x

Решение: Возведём двучлен во вторую степень и запишем каждое слагаемое в виде степени, затем, произведя почленное деление и, применив соответствующие формулы таблицы, получим:

		2		1									2
	x	3	4x	3	4		1		2		dx	x	3	4x
J	x		4x		4	dx x		dx 4 x		dx 4	dx	x		4x

							3		3
							3		3
			x								x	2		1
												3		3

1
3	4 ln x C
	4 ln x C

12x 3 ln x 4 C

6.2Способы интегрирования

1.Подведение под знак дифференциала:

f ax b dx	1	f ax b d ax b		1	F ax b С
	a			a

2. Интегрирование по частям:		UdV UV	VdU

Классы функций, интегрируемых по частям:

a). Pn x eax dx

	n	x sin axdx
	P	x sin axdx

u P	(x)
n

б).

в).

Pn x cosaxdx

Pn x ln xdx;

Pn x arcsin xdx;

Pn x arctgxdx;

eax sin xdx

eax cos xdx

U ln x
U arcsin x
U arctgx
U e
ax
или	U sin x

или U= cos x

3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

						P x									A	A		...	A	M x N
						x									1	2		...				1	1
							2							x a		x a	2			x	2	px q
x a								px q						x a		x a			x a	x		px q
		M		2	x N			2	...		M				x N
	x			2				2		x
								2
								2
		2	px q									2	px q
		2										2

4. Интегралы вида

R sin x; cos x dx

	z tg			x	-универсальная подстановка;	sin x	2z
	z tg			2			1 z	2



dx		2dz	.
dx			.
1		z 2

Для частных случаев:

а) формулы понижения порядка:

sin2 x 1 cos2x ; 2

cos2 x 1 cos2x ; 2

;

sin

	1 z
		2
cos x	1	z	;
		2

x cos x	1	sin 2x.
	2

б) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

sin cos 12 sin sin ;

cos cos sin sin



2 1

cos cos ;cos cos .

5. Интегралы вида

R tgx dx

R sin

x; cos

x dx

Подстановка

z tgx;

sin

;

cos

;

1 z

6. Интегрирование иррациональностей.

dx	dz	.
dx	z	.
1	z
	2

а)

б)

в)

R x;		n	ax b dx;			подстановка
R x;			ax b dx;

				ax b
	R x; n				dx;	подстановка
				cx d		подстановка
				cx d

Тригонометрические подстановки:

ax b t			n	;
ax b t				;


	ax b	t			n	;
		t				;

	cx d

R x;

dx;

atgt

R x;

dx;

a sin t

R; x;

dx;

x a sect

Например:

x cos xdx

решается

способом интегрирования по частям.

cos x

решается

способом подведения функции под знак дифференциала.

1 x

- решается методом подстановки x =sin t .

6.3 Определённый интеграл

Определении. Определённым интегралом по отрезку a;b от функции f (x) называется

предел интегральной суммы

i 1

	i	x	i

, если этот предел существует и не зависит ни от

деления отрезка a;b на части, ни от выбора точек внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е

b			n
f x dx lim			f i	xi
	x	0	i 1
a	i		i 1
	i

Числа a,b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, т.е a;b-отрезок интегрирования.

Свойства определённого интеграла по a;b

	b	a
1.	f x dx		f x dx
1.	a	b
	a	b
	a
2.	f x dx 0
2.	a
	a
	b	c				b
3.	f x dx		f x dx f x dx
3.	a	a				c
	a	a				c
	b				b	b
4.	f1 x f2 x dx					f1 x dx f2		x dx
4.	a				a	a
	a				a	a
	b		b
5.	cf x dx c f			x dx,		С- постоянная
5.	a		a			С- постоянная
	a		a
	Правила вычисления определённого интеграла по a;b
	b			b
1. f x dx F (x)				F (b) F (a)			-	формула Ньютона-Лейбница, где F(x)-
	a			a			-	формула Ньютона-Лейбница, где F(x)-
	a

функция для f(x),			первообразная
функция для f(x),
F x f x
	b		b
2. UdV UV b			VdU		-	интегрирование по частям.
	a	a	a		-	интегрирование по частям.
		a

	b	f x dx	f t t dt
3.		f x dx	f t t dt
3.
	a

, где x= (t) функция непрерывная вместе со своей

производной						a
t		t				a
t	на ;	t				b
	на ;					b
Например: Найти значение определённого интеграла
Решение:
Решаем методом подстановки
							dx
Положим	ln x t		x	1	e		dx	dt,
			x	1	e
			t	0	1		x

e	ln	2	x
J				dx
	x
1

Тогда

e	ln	2	x	1		1		1	1			1
	x			dx t	dt	3	t	0	3	1	0	3	;
1	x			0		3			3			3

6.4 Несобственные интегралы

Кнесобственным интегралам относятся:

1.Интегралы с бесконечными пределами интегрирования вида:

	f x dx,
	f x dx,
a

b	f x dx,
	f x dx,

	f x dx
	f x dx

2. Интегралы от разрывных функций (от неограниченных функций).

9	dx		1
Пример.
		2) типа, т.к на отрезке -2;9 функция x
2 x - несобственный интеграл
терпит бесконечный разрыв в точке x=0.

Пример. Вычислить

	1	dx
J		dx
J		x	2
		x

1 dx

lim

lim 1

Решение

Пример. Вычислить

1 x

Решение:

1 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.20192.59 Mб14линия по пр-ву плавлен.сыра.doc
#
22.11.2019292.62 Кб8линия по сыру.docx
#
22.11.20195.47 Mб8линия по творогу.doc
#
14.04.2015135.17 Кб21лист достижения.doc
#
04.09.2019293.38 Кб13ЛР 3 Молотковые дробилки МШ Л.Р.№3.doc
#
14.04.20152.31 Mб39Математика 3 семестр.pdf
#
18.04.2019515.07 Кб12Мелиорация курсовая.doc
#
14.04.2015351.23 Кб95мелиорация.doc
#
23.09.201956.35 Кб5Менеджмент - методичка по курсовой.docx
#
14.04.201555.63 Кб7Мет указ по контр.раб для заочников.docx
#
22.11.2019108.54 Кб3МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.doc