Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика 3 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Замечание. Разложение можно выполнять по элементам любой строки (столбца).

x 2 y z 8
	1
Пример. Решить систему 2x y 3z

3x 2 y 2z 0

Решение: Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

2 3

2 1 2

= 1·

1 2

- (-2)

2 3

+1·

2 3

1 2

= (-2+6)+2(-4+9)+1(4-3)=4+10+1=15

Составим вспомогательный определитель первого столбца свободными членами.

	1

. Он получается из главного путём замены

			8
	1		1
	1
			0

2 1 2

= 8·

1 2

1 0



3 2

1 0

1 2

= 8(-2+6)+2 (-2-0)+1(2-0)=8·4+2·(-

2)+2=30

Составим определитель свободными членами.

	2

, путём замены 2-го столбца (в главном определителе)

	1	8	1
2	2	1	3	= - 45 .
	3	0	2

Составим определитель свободными членами.

	3

путём замены 3-го столбца (в главном определителе)

	3

1 2 3

2	8
1	1	=0
2	0

x 1 ,

Тогда по правилам Крамера имеем
y	2	,	z	3	или x	30	2	,	y	45	3	,	z		0	0
						15				15					15

											Ответ:			x=2,		y= -3, z

1.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть дана система

	x 2 y z 3

	3x 5 y 3z 2

		4x 3y 2z 1
		4x 3y 2z 1

(1)

Гаусс при решении системы использовал метод исключения неизвестных. В результате исходная система приводится к треугольному виду:

(2)

Вэтих таблицах, называемых матрицами, должны быть записаны коэффициенты при неизвестных, а после вертикальной черты-свободные члены.

Всистеме (2) из последнего уравнения находится неизвестное z, из 2-го-другое неизвестное y, из 1-го- первое неизвестное x.

Пример. Решить систему

Решение

1		2	1

	2	1	3

	3	2	2

1
	0

	0

x 2 y z 8
	y 3z 1
2x	y 3z 1
	2 y 2z 0
3x	2 y 2z 0

2	1	8
5	5	15	~
5	5	15	~
8	5
8	5	24

(первую строку умножаем на (-2) и на третьей строкой соответственно)

1		2	1	8

~	0	1	1	3	~
	0	8	5	24
	0	8	5	24

(-3)

1
	0

	0

и складываем последовательно со второй и

2	1	8

1	1	3
0	3	0

(умножаем элементы второй строки на (-8) и складываем с 3-ей строкой).

Имеем систему

	x 2 y z 8
	y z 3
	y z 3
	3z 0
	3z 0

Из этой системы имеем z =0 (из последней строки), y= -3 (из 2-ой строки), x=2 (из 1-ой строки).

1.5 Основные формулы аналитической геометрии

1. (x2 x1 )2 ( y2

		x	x	2
2.	xc	1			;
		1

отношении.

y )2	- длина отрезка между точками	M	1
1			1

	y	y	2
yc	1		2	- координаты точки деления
yc	1			- координаты точки деления
	1
				C(x, y)

(x1 , y1 ) и M 2 (x2 ,

отрезка в данном

y	2	)
	2

M1 (x1 , y1 )

M	(x	, y	)
2	2	2

M1C -отношение величины отрезка от начала отрезка т. M1 до делящей т. C к

CM 2

величине отрезка от делящей точки C до конца отрезка M2 .

3. y kx b - уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

k tg

tg		- угловой коэффициент прямой.
	k	2	k	1	- тангенс угла между двумя прямыми.

	1 k k
				2
			1
	-угол между двумя прямыми.
	k1		k2		- условие \| \| двух прямых.

k			1
k	2		k
	2
				1
				1
		y
y k x
		1

- условие двух прямых.

y k	x b
1	1

y k	2	x b
	2	2

рис 1.

y y0

рис 3.

k x y

рис 2.

x0 - уравнение пучка прямых.

M0 (x0 , y0 ) - центр пучка.

5.	y
	y
		2

M 2 (x2 ,

y	x		x
1			1
1			1
y	x	2	x
1		2	1
y2 )

- уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1 , y1 ) и

6.	x x	0	y y	0	- уравнение прямой, проходящей через точку

	m		n

вектору		a mi + n j

M	(x	, y	)	a
0	0	0

M	(x	, y	)
0	0	0

параллельно

	A x x0 B y y0 0			рис 4.
7.	A x x0 B y y0 0			- уравнение прямой, проходящей через т.	M0 (x0 , y0 )
перпендикулярно вектору				n A i B j .
				y
				n
				x
				0
				М0
				рис. 5
8.	Ax By C 0 - общее уравнение прямойуравнение первой степени с двумя
неизвестными.
9.	x	y	1 - уравнение в отрезках на осях.
9.	a	b	1 - уравнение в отрезках на осях.
	a	b

0 a

рис. 6

10.	x x		0		mt
10.

		y y		0	nt
				0

параметрические уравнения прямой.

	x x
			m
11.	x	2

0 y

		y y
			n

		y		-
2	r		2

0	t , t- переменный параметр.

уравнение окружности с центром в т. O (0;0) и радиусом r. ( рис. 7 )

								рис. 7
x x0	2	y y0	2	r	2	- уравнение окружности со смещённым центром
x x0		y y0		r		- уравнение окружности со смещённым центром
12. Каноническое уравнение эллипса.
							y
							b
				-a					a	x


							-b
							рис.8

O	x	,
1	0

y	0

x a

2	y	2
	y		1	- уравнение эллипса с центром в начале координат.
2	b	2	1	- уравнение эллипса с центром в начале координат.
2		2

13. Каноническое уравнение гиперболы.

		рис.9
x2	y 2	1 - каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.
a2	b2
a2	b2

x x			2	y y			2
			2				2
		0				0	1	- уравнение гиперболы со смещённым центром
a	2			b	2		1	- уравнение гиперболы со смещённым центром
	2				2

14. Каноническое уравнение параболы. y

O1 ( x0, y0).

0		x
	F

рис. 10

2Py	2	- каноническое уравнение параболы с вершиной в т. O (0,0).
2Py		- каноническое уравнение параболы с вершиной в т. O (0,0).
		x			p	- уравнение директрисы.
		x			2	- уравнение директрисы.
					2
		x x		2 p y y				2	- уравнение параболы со смещённой вершиной в т. O1	(x0,y0)
		x x	0	2 p y y			0
			0				0

1.6 Примеры решения задач

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 3), В (16; - 6), С (20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

Решение. 1. Расстояние d между точками А ( x1; y1) и В (х2; y2) определяется

по формуле:

		d				2	y2 y1	2
		d	x2 x1				y2 y1		(1)
Применяя (1), находим длину стороны АВ:							AB		2	2	144
Применяя (1), находим длину стороны АВ:							AB	16 4		6 3	144
2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; y2), имеет вид:
y y			x x
		1			1	.	(2)
y		y	x		x	.	(2)
y	2	y	x	2	x
	2	1		2	1

Подставляя в (2) координаты точек A и В, получим уравнение стороны АВ:

=15

y 3

x 4

;

y 3

x 4

;

y 3

x 4

;

4y-12= -3x+12;

6 3

16 4

3x+4y-24=0 (AB).

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

4y= -3x+24;

y	3	x 6,
	4

откуда

k		3	.
k	AB	4	.
	AB

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой BC:

y 6	x 16	;
16 6	20 16

y 6	x 16	;
22	4

	y 6
	11
	11

x16 2

;

11x 2y 188 0(BC),

или y=5,5x-94, откуда kBC=5,5.

3. Известно, что тангенс соответственно равны k1

угла	между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых
и k2 вычисляется по формуле:
	tg	k		2	k	1	(3)

		1	k k
						2
					1

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены:

k AB

tgB

3 ; 4

	k	AB


	1 k

k		BC

k			BC

AB	k			BC

5,5.	Применяя (3),
		3		5,5
		4

			3
					5,5	4
1
			4

получим

	25	2;
	16,5	2;
	16,5

В=63°26'. или В 1,11 рад.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет

вид:		y—y1 = k(x—x1).	(4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты
CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как, kBC				3	, то
				4	, то
				4
kCD	4	. Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент
kCD	3
	3

высоты, получим:

y 16	4	x 20 ;
	3

3y 48 4x 80; 4x 3y 32 0(CD).

Чтобы найти длину высоты CD, определим сперва координаты точки D-~ точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:

3x 4 y 24 0		,	находим		x=8, y=0,	т.е D(8;0)
		,	находим		x=8, y=0,	т.е D(8;0)
4x 3y 32	0
По формуле (1) находим длину высоты CD:
			CD	2	2	20.
			CD	20 8	16 0	20.

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

x	x1 x2	;	y	y1 y2

2			2

Следовательно,

x		16 20	18;
x	E	2	18;
	E

y		6 16	5;
y	E	2	5;
	E

E (18;5).

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

y 3	x 4	;
5 3	18 4

y 3	x 4	;
2	14

x 7 y 17 0(AE).

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений:

4x 3y 32 0

x=11, y=4; K (11;4).x 7 y 17 0;

6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки

К и угловой коэффициент

y 4	3	x 11 ;
	4

k 4y



3 4

получим:

3x 33;

3x 4y 49 0(KF).

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

8	4 x	m	;
8			;

	2

x	m	12;
	m

0	3 y	m	;
0			;

	2

y	m	3;
	m

M (12; 3).

Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.

рис. 1

Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки A (4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.

Решение.

(x,y)

рис. 2

В системе координат хОу построим точку A (4;0) и прямую х=1. Пусть М(х; у) — произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х=1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1,у) (рис. 2).

По условию задачи МА:МВ=2. Расстояния МА и MB находим по формуле (1) задачи 1:

x 4		2	y 0	2

	2			2.
(x 1)			( y y)	2

Возведя в квадрат левую и правую части, получим:

x	2		8x 16 y				2
x			8x 16 y
		x	2	2x 1
		x		2x 1

				3x	2	y		2
				3x		y

4;12,

x	2	8x

или


16 y			2		4x	2	8x 4;
16 y					4x		8x 4;
x	2	y		2
x		y			1.
4		12			1.
4		12

Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная

полуось а=2, а мнимая - b 2

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, с2=4+12=16; с=4; F 1(— 4; 0), F2(4; 0) — фокусы гиперболы. заданная точка A(4; 0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:


	с		4		2
	a		2		2
	a		2
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид		y		b		x и	y	b	x.
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид		y		a		x и	y	a	x.
				a				a

c	2	a	2	b	2	.
	2		2		2

Как видно,

Следовательно,

y	2	3	x,
		2

или

3х

— асимптоты гиперболы. Прежде

чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.

Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A (4; 3) и прямой у=1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.

Решение.

рис. 3

Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у=1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна I, т. е. В (х; 1). По условию задачи МА=МВ. Следовательно, для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

x 4		y 3				x x				y 1		,
2				2					2		2
				или
2	y		2	6 y 9		y	2	2 y 1;
x 4	y			6 y 9		y		2 y 1;
2	4 y 8;				y	2		1		2	.
x 4	4 y 8;				y	2		4	x 4		.
								4

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (4; 2). Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим x-4=Х и y+2=Y; тогда уравнение параболы принимает вид:

Y 14 X 2 .

Чтобы построить найденную кривую, перенесем начало координат в точку О' (4; 2), построим новую систему координат XO'Y, оси которой соответственно параллельны осям Ох и Оу, и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).

1.7Вопросы для самопроверки

1.В чём суть правила Крамера?

2.Понятие определителя 2-го, 3-го… порядков.

3.Каковы условия единственности решения системы?

4.Изложить два способа вычисления определителя 3-го порядка.

5.Как решить систему уравнений методом Гаусса?

6.Какое равенство называется уравнением прямой?

7.Как пройдёт прямая линия, если свободный член в этом уравнении равен нулю?

8.Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?

9.Как найти угловой коэффициент прямой, если известны две её точки?

10.Запишите уравнения прямых, совпадающих с осями координат.

11. Дайте определение окружности. Приведите уравнение x2 y2 4x 6y 28 0

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.20192.59 Mб14линия по пр-ву плавлен.сыра.doc
#
22.11.2019292.62 Кб8линия по сыру.docx
#
22.11.20195.47 Mб8линия по творогу.doc
#
14.04.2015135.17 Кб21лист достижения.doc
#
04.09.2019293.38 Кб13ЛР 3 Молотковые дробилки МШ Л.Р.№3.doc
#
14.04.20152.31 Mб39Математика 3 семестр.pdf
#
18.04.2019515.07 Кб12Мелиорация курсовая.doc
#
14.04.2015351.23 Кб95мелиорация.doc
#
23.09.201956.35 Кб5Менеджмент - методичка по курсовой.docx
#
14.04.201555.63 Кб7Мет указ по контр.раб для заочников.docx
#
22.11.2019108.54 Кб3МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.doc