Математика 3 семестр
.pdf
0, |
при x a |
||
|
|
при a x b |
|
f x C, |
|||
|
0, |
при x b |
|
|
|||
|
|
||
18. Биномиальное распределение. Закон дискретной случайной величины X, заданной
формулой Бернулли:
Pm,n
C |
m |
p |
m |
q |
n m |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
, где q= 1- p
называется биномиальным.
19.Закон распределения дискретной случайной величины X, заданный формулой
Пуассона
P( X
m)
a |
m |
|
|
|
e |
a |
|
|
|
||
m! |
|
||
|
|
||
, называется законом Пуассона.
20. |
Нормальный закон распределения Н.С. В. |
характеризуется плотностью |
|||||
|
|
|
|
( x a) |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
f (x) |
|
e |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2П |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
21.P(X)=
|
a |
|
a |
||
Ф |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
||
или
P(X)
|
|
0,5 Ф |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Ф |
|
2 |
|
|
a 
2
-
вероятность попадания на участок
,
случайной величины x, подчинённой нормальному закону , где Ф(x)- функция Лапласа.
22. |
|
|
или |
P x a 2Ф |
|
||
|
|
|
|
нормальной случайной величины X
среднее квадратическое отклонение.
|
|
|
- вероятность отклонения |
|
P( X a ) Ф |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
от её математического ожидания, где a=M(X), |
- |
|||
9.3 Примеры решения задач
Задача 1. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули два шара (возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение: Пусть событие А - появление белого шара при первом вынимании, событие В
- появление белого шара при втором вынимании. События А и В независимы.
Тогда P(A B)=P(A) P(B), где
P( A B) 73 73 499
Ответ: 499
P( A) |
6 |
|
3 |
; |
|
14 |
7 |
||||
|
|
|
P(B) |
6 |
|
3 |
|
14 |
7 |
|||
|
|
Имеем
91
Задача 2. В условии предыдущей задачи пусть первый шар не возвращается в ящик.
Решение: Событие А - появление белого шара при первом вынимании. Событие В
- появление белого шара при втором вынимании.
А и В- зависимые события.
P( A) |
6 |
|
3 |
; |
P |
(B) |
6 1 |
|
|
5 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
14 |
|
7 |
|
A |
|
6 8 |
1 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
P( A |
B) P( A) PA (B) |
3 |
|
5 |
|
15 |
||||||
7 |
|
91 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|||
Ответ: |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.
Решение: Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и
равна р, а вероятность противоположного события A |
равна q= 1 — p, то вероятность Рп (т) |
|||||
того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле: |
||||||
|
m |
m |
(q) |
n m |
, |
(1) |
|
Pn (m) Cn ( p) |
|
|
|||
где C n |
есть число сочетаний из п элементов по m . |
|
||||
m |
|
|
|
|
|
|
а) По |
условию задачи вероятность |
всхожести семян р =0,9; тогда |
||||
q = 0,1; в данном случае n = 5 и т = 4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1),
получим
P (4) C |
4 |
(0,9) |
4 |
(0,1) |
|
5 4 3 2 |
0,656 0,1 0,328 |
|
|||||||
5 |
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
1 2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре,
или пять. Таким образом, Р(А) = Р5(4) + Р5(5). Первое слагаемое уже найдено. Для
вычисления |
второго |
снова |
применяем |
формулу |
(1): |
||
P (5) C 5 |
(0,9)5 |
(0,1)0 1 0,591 1 0,591 |
|
|
|
||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, Р( А) = 0,328 + 0, 591 =0,919.
Задача 4. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64.
Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.
Решение: Если число испытаний п велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становится практически
92
невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлично от нуля и единицы) , а число п достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в этих испытаниях событие A наступит т раз (безразлично, в
какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле:
P (m) |
1 |
(x), |
|
||
n |
npq |
|
|
|
( 2 )
где x |
m |
np |
|
, а (x) |
1 |
|
e x2 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
npq |
|
2П |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеются готовые таблицы значений функции |
(x) |
|
|
|
|
|||||||||
Для x>5 считают, что |
(x) 0. |
Так как функция |
(x) |
четная, то |
( x) (x). |
По |
||||||||
условию задачи п = 625, m = 415, p=0,64. Находим q= 1 —0,64 = 0,36. Определяем значение
х при этих данных:
x |
415 625 0,64 |
1,25. |
||
|
|
|
||
|
625 0,64 0,36 |
|||
|
|
|
||
По табл. 1 находим, что
(1,25)
= 0,1 826. Подставив это значение в (2), получим
P |
(415) |
1 |
0,1826 0,015. |
|
|||
625 |
|
625 0,65 |
0,36 |
|
|
Задача 5. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе
5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение: Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Рп(т), При малых значениях р (и при малых значениях q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.
Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит т раз,
вычисляется приближенно по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Pn (m) |
|
e |
|
, |
|
( 3 ) |
m! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
где np. |
|
|
|
|
|
|
Формулу (3) применяют в тех случаях, когда |
10. |
При этом чем больше число п и |
||||
меньше число р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи n = 5000, m=5,
р = 0,0004. Тогда = 5000 0,0004 = 2. Применяя (3), получим:
93
|
|
2 |
5 |
|
|
|
32 |
|
P |
(5) |
|
e |
2 |
|
0,1353 0,036. |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
5000 |
|
5! |
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 6. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от
330 до 375.
Решение: Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула(2),
выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно т раз при п независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее т1 раз и не более т2 раз, т.
е. число m определено неравенствами m1 m m2 . В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлична от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, вычисляется приближенно по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Pn (m1 m m2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e dx, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2П |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
m1 np |
, |
m2 |
np |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
npq |
|
npq |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Имеются |
таблицы |
значений функции |
|||||||||||||
( 4 )
|
|
x |
|
z |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Ф(x) |
e |
2 |
dz |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
2П |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
. Ф(х) называется
функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. Ф(-x)= — Ф(x). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) является монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании х функция Ф(х) стремится к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:
P (m |
m m ) Ф( ) Ф( ). |
|
n |
1 |
2 |
По условию n = 600, р =0,6, m1 = 330, m2==375. Находим
(5)
и :
|
330 600 0,6 |
|
2,5; |
|
375 600 0,6 |
|
1,25. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
600 0,6 0,4 |
|
|
|
|
600 0,6 0,4 |
|
|
По табл. 2 находим Ф(1,25) = 0,3944; Ф(-2,5) = -Ф(2,5) = -0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:
94
P |
(300 m 375) 0,3944 ( 0,4938) 0,8882. |
600 |
|
Задача 7. Пусть X- дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:
x i |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
p i |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
а)Записать для данной случайной величины X функцию распределения F(x).
б) вычислить вероятность попадания случайной величины на участок 1, 7 .
Решение: а) По определению F(x) = P(X x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , ,тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|||||||
|
|
||||||||||||
0, если |
x 0, |
или |
x ;0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
0,2 , если x 0;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1;3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 0,1 0,3 |
, если |
|
|
|
|
|
||||||
|
0,2 0,1 0,2 0,5 |
, если x 3;5 |
|
|
|
|
|
||||||
F x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0,2 0,1 0,2 0,3 0,8 , если x 5;7 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7;9 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,2 0,1 0,2 0,3 0,1 0,9 , если |
|
||||||||||||
0,2 0,1 0,2 0,3 0,1 0,1 1 , если |
x 9; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) P(a
P(1
Задача
X b)=F(b)- F(a), тогда |
|
|
|
|
|
|
||||
X 7 )=F(7 )-F(1 )= 0,8 |
-0,2 =0,6 |
|
|
|
|
|
||||
8. Найти M(X), Д (X), |
( X ) дискретной случайной величины, если |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x i |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
p i |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Pi |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
n
а) M ( X ) xi pi ; M (X ) 0 : 0,3 1 0,1 3 0,3 5 0,2 7 0,1 2,7
i 1
95
б)
в)
Д (X ) M (X |
2 |
|
|
2 |
; |
|
|
|||||
|
) (M (x)) |
|
|
|||||||||
M (X |
2 |
) |
0 |
2 |
|
|
|
2 |
0,1 3 |
2 |
0,3 5 |
|
|
|
0,3 1 |
|
|||||||||
Д (X ) 12,7 |
(2,7) |
2 |
5,41 |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
( X ) |
Д ( X ) |
|
( X ) |
5,41 |
||||||||
2 |
0,2 |
7 |
2 |
0,1 |
12,7 |
|
|
2,33
Задача 9. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х) = 5; дисперсия D(X) = 0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4, 7).
Решение: Если случайная величина X задана дифференциальной
функцией f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
( ,), вычисляется по формуле:
P( X )
f (x)dx.
Если величина X распределена но нормальному закону, то
P( X ) |
|
a |
|
|
a |
(6) |
|
|||||||
Ф |
|
Ф |
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где а=М(Х) и |
|
D( X ) . По условию задачи а = 5, |
|
0,64 =0,8, =4 и =7. Подставив |
||||||||||
эти данные в (6), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7 5 |
|
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
P 4 X 7 Ф |
|
|
|
Ф |
|
|
Ф(2,5) Ф( 1,25) Ф(2,5) Ф(1,25) |
|||||||
0,8 |
0,8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0,4938 0,3944 0,8882.
Задача 10. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная
длина (математическое ожидание) = 40 см, среднее квадратическое отклонение |
= 0,4 |
см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
Решение. Если X — длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в
интервале |
(a , a ) , где а = 40 и |
= 0,6. Подставив в формулу (6) |
a и |
a , |
получим |
|
|
96
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
P(a X a ) Ф |
|
|
Ф |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
X a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2Ф |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (7) имеющиеся данные,
a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
||
(7) |
|
|
|
|
|
|
получим
|
|
|
|
2Ф |
|
|
|
|
.
Таким образом
P ( |X - 40| 0,6 )=
|
0,6 |
|
2Ф(1,5) |
2 0,4332 0,8664. |
2Ф |
0,4 |
|
||
|
|
|
|
Итак, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4
до 40,6 см, составляет 0,8864.
9.4Вопросы для самопроверки
1.Дайте понятия испытания и события.
2.Сформулируйте определение вероятности события.
3.Приведите примеры невозможных, достоверных, случайных событий.
4.Понятие полной группы событий.
5.Какие два события называются противоположными?
6.Сформулируйте теорему сложения совместных событий, несовместных событий.
7.Сформулируйте теоремы умножения зависимых, независимых событий.
8.Запишите формулу полной вероятности, формулы Бейеса.
9.На что указывает формула Бейеса?
10.В чём заключается смысл локальной и интегральной теорем Лапласа?
11.Запишите формулу Бернулли. Когда она применяется?
12.Дайте определение непрерывной случайной величины и дискрет-ной случайной величины. Приведите примеры.
13.Какие законы распределения вероятностей случайной величины вы знаете?
Приведите примеры для дискретной случайной величины и для непрерывной случайной величины.
14.Сформулируйте вероятностный смысл числовых характеристик.
15.Запишите формулы для вычисления числовых характеристик диск-ретной случайной величины и непрерывной случайной величины.
16.Определение функции распределения и плотности вероятности непрерывной случайной величины.
Раздел 10. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
97
10.1 Проверка статической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины с помощью критерия Пирсона (X2).
Суть проверки статической гипотезы о нормальном законе распределения (как и любого другого) состоит в сравнении данных о случайной величине, полученных эмпирическим путём и теоретическим.
Проверка производится с помощью некоторой критериальной величины.
Проверку будем делать с помощью критерия согласия Пирсона. Критерий согласия Пирсона предполагает:
1. Найти
|
|
s |
(m |
|
* |
2 |
|
|
2 |
|
m |
) |
|
||
X |
i |
|
i |
|
, |
||
набл |
|
m |
* |
|
|||
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вычисленное с учётом эмпирических и теоретических
частот (mi и |
|
* |
) |
|
mi |
||||
|
X |
2 |
|
|
2. Найти |
крит по таблице в зависимости от чисел K и , где K=S-3- число степеней |
|||
|
||||
свободы, S- число групп распределения, - уровень значимости (достаточно малая вероятность). На практике обычно принимают между числами 0,01 и 0,05
3. Сравнить |
|
2 |
|
|
2 |
|||
набл и |
крит : |
|||||||
Если |
|
2 |
|
2 |
|
, то гипотеза о нормальном законе данного эмпирического |
||
|
|
|
||||||
|
набл |
|
крит |
|||||
распределения принимается на уровне значимости , т.е. есть основание считать, что эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (различия случайны.
В противном случае ( |
|
2 |
|
2 |
|
набл |
|
крит )) гипотеза отвергается на выбранном уровне |
значимости.
10.2 Пример решения задачи
Дана X- средняя заработная плата
|
x i-x i+1 |
100- |
150- |
|
200- |
250 |
300- |
350- |
400- |
450- |
500- |
|
|
|
150 |
200 |
|
250 |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
550 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m i |
1 |
3 |
|
10 |
20 |
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
S=9- число интервалов |
|
|
n mi |
|
|
|
|
|
|||||
i 1
n= 100объём выборки
98
1. Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда.
x i |
125 |
175 |
225 |
275 |
325 |
375 |
425 |
475 |
525 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m i |
1 |
3 |
10 |
20 |
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составим таблицу.
Таблица 1.
|
x i |
|
|
m i |
|
u i |
m u |
|
m |
u |
2 |
m |
|
u |
3 |
m |
u |
4 |
|
|
|
|
i |
i |
i |
i |
i |
||||||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
125 |
|
|
1 |
|
-4 |
-4 |
|
16 |
|
-64 |
|
256 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
175 |
|
|
3 |
|
-3 |
-9 |
|
27 |
|
-81 |
|
243 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
225 |
|
|
10 |
|
-2 |
-20 |
40 |
|
-80 |
|
160 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
275 |
|
|
20 |
|
-1 |
-20 |
20 |
|
-20 |
|
20 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
325 |
|
|
33 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
375 |
|
|
17 |
|
1 |
17 |
|
17 |
|
|
17 |
|
17 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
425 |
|
|
11 |
|
2 |
22 |
|
44 |
|
|
88 |
|
176 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
475 |
|
|
4 |
|
3 |
12 |
|
36 |
|
108 |
|
324 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
525 |
|
|
1 |
|
4 |
4 |
|
16 |
|
|
64 |
|
256 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
216 |
32 |
1452 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ui |
x |
i |
325 |
(условная варианта ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50= h- шаг интервала
325=С – ложный нуль (среднее значение между x i);
3.Вычислим необходимые числовые характеристики.
В условных вариантах |
В исходных вариантах |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
ui |
|
|
|
|
|
|
|
M1* (u) |
mi |
|
|
2 |
|
0,02 |
|
|
|
n |
100 |
|
|||||
i 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
|
|
s |
m |
u |
2 |
|
216 |
|
|
||
|
* |
(u) |
i |
|
2,16 |
||||||
M |
i |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
n |
|
100 |
|||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
m u |
3i |
|
32 |
|
|
|
||
M 3* (u) |
i |
|
|
|
|
|
|
0,32 |
|||
|
n |
|
100 |
||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
m |
u |
4 |
|
1452 |
|
|||
|
* |
(u) |
i |
|
14,52 |
||||||
M |
i |
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
n |
|
100 |
|||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(u) M * (U ) 0,02
в1
Д(u) M * (u) (M * (u))2
в2 1
2,16 (0,02) |
2 |
2,16 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
M |
* |
3M |
* |
M |
* |
2(M |
* |
) |
3 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
1 |
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,32 3 0,02 2,16 2 (0,02) |
3 |
0,3 |
|||||||||||
|
|||||||||||||
x |
в |
0,02 50 325 326 |
|
|
Дв 2,16 502 5399;
в 
5399 73,78
m |
0,3 50 |
3 |
37500 |
|
|||
3 |
|
|
|
m |
|
M |
* |
4M |
* |
M |
* |
* |
2 |
M |
* |
|
|||
4 |
4 |
1 |
3 |
6(M |
) |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
* |
|
4 |
14,52 4 0,02 0,32 |
|
|
||||||||
3(M |
) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
14,49 50 |
4 |
90562500 |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 (0,02) |
2 |
|
2,16 3 (0,02) |
4 |
14,49 |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
37500 |
0,09 |
||||||||||
a |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S |
|
3 |
|
(73,78) |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
m |
4 |
3 |
90562500 |
3 0,056 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k |
|
4 |
|
(73,78) |
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислим теоретические частоты с помощью таблицы № 2
где m* i
h- шаг,
n
в -
h |
(ui |
), |
n- объём выборки |
|
в
среднее квадратическое отклонение.
Таблица № 2.
|
|
|
|
|
|
|
xi xb |
|
|
(ui ) |
mi* |
X I |
m I |
xi xb |
|
ui |
|
|
|||||
b |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100