15. Способы задания прямой на плоскости.

Рассмотрим несколько способов задания прямой на плоскости. Прежде всего отметим, что это линейные уравнения, т. е. такие уравнения, в которых переменные исодержатся только в первых степенях.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом   

Сначала исследуем прямую, которая задана уравнением  . Эта прямая всегда проходит через начало координат, т. е. через точкуКоэффициентназывается угловым коэффициентом. Равен он тангенсу угла наклона, образуемого прямой с положительным направлением оси(рис. 4), т. е..  Если учесть, что тангенс острого угла есть величина положительная, а тангенс тупого угла – величина отрицательная, то можно очень быстро представить расположение прямой на плоскости.

 

Рис. 4. Геометрический смысл углового коэффициента

 

 

Рис. 5. Построение графика прямой

 

Прямая, заданная уравнением , параллельна прямой, описанной уравнением. Коэффициентесть величина отрезка, отсекаемого прямойна осиЭта величина может быть как положительной, так и отрицательной. Для того, чтобы построить график прямой, зная график прямой, надо прямуюпараллельно поднять на величинуотносительно начала координат, если. Если же величинаотрицательная, тогда прямуюнадо параллельно опустить на величинуотносительно начала координат (рис. 5).

Общее уравнение прямой на плоскости

Линейное уравнение вида  называется общим уравнением прямой на плоскости.

Если коэффициент , то прямая, уравнение которой в этом случае записывается, проходит через начало координат.

Важную роль выполняют коэффициенты .  Вектор,  координатами которого являются эти числа, называетсянормальным вектором прямой, заданной уравнением .

Следует обратить внимание на тот факт, что  это проекция нормального вектора на ось это проекция нормального вектора на ось

Вектор , начало которого совпадает с началом координат, задает  общее расположение прямой на плоскости: искомая прямая перпендикулярна вектору.

Взаимное расположение прямых на плоскости

 

На плоскости заданы прямые общими уравнениями:

Если выполнены условия , то прямыесовпадают.

Если выполнены условия , то прямыепараллельны.

Векторы  нормальные векторы прямых исоответственно.

Если скалярное произведение векторов иобращается в ноль, т. е.то прямыеиперпендикулярны.

Условие перпендикулярности прямых ив  координатной форме:

 

Уравнение прямой, проходящей через точку, с заданным угловым коэффициентом

На плоскости дана точка .  Прямая, угловой коэффициенткоторой задан, проходит через эту точку(рис. 6).  Уравнение ее имеет вид:

 

Рис. 6. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку , с заданным угловым коэффициентомk

 

  Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

На плоскости даны две точки  и . Уравнение прямой, проходящей через эти точки, очень легко написать. На прямой возьмем текущую, т. е. любую, точку. Построим два вектораи. По построению эти векторы коллинеарны. Условие коллинерности – это пропорциональность одноименных координат векторов:. Это и есть искомое уравнение.

Преобразуем полученное равенство:

Заметим, что отношение есть ни что иное  как угловой коэффициент(рис. 7), т. е..

 Возникает вопрос: изменится ли уравнение прямой, если будем рассматривать векторы и? Ведь в этом случае уравнение прямой должны записать как, или  иначе[1].

 Вывод. Уравнение прямой, проходящей через две точки и, имеет вид

 

Уравнение прямой через две заданные точки М1 и М2

Рис. 7. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁ и М₂

 Примечание. Уравнение прямой, проходящей через две точки ив пространствеR³,  имеет вид

 

 

  Пример 41.  Найти нормальный вектор прямой  .

Решение

Прямая задана общим уравнением . Она  не проходит через начало координат. Векторявляется нормальным вектором прямой, а это означает, что прямая перпендикулярна вектору

Ответ:  нормальный вектор прямой.

 Примечание. Общее уравнение прямой не является самым удачным  для ее построения. Большей частью решение задачи построения такой прямой сводят к приведению общего уравнения к  уравнению с угловым коэффициентом. Однако есть одно красивое представление прямой в виде так называемого уравнения в «отрезках». Это уравнение позволяет не только быстро построить прямую, но и решить ряд  других сопутствующих задач.

Уравнение прямой  в  «отрезках»

Предположим, прямая задана общим уравнением . Полагаем, что  в уравнении коэффициент. В противном случае задача упрощается, так как прямая проходит через начало координат.

Выполним тождественные преобразования, проследите за ними:

 Здесь введены обозначения:  Обратите внимание на уравнение. Это и есть уравнение прямой«в отрезках». Возникает вопрос, где эти отрезки?

Величина отрезка, который прямая  отсекает на оси от начала координат, равнаДействительно, чтобы найти точку пересечения прямойи оси( уравнение оси ), надо решить систему, содержащую уравнения этих прямых:

 

Аналогично можно показать, что величина отрезка, отсекаемого  прямой  на оси ( уравнение оси ) от начала координат,  равна

И теперь, чтобы построить прямую, записанную уравнением в «отрезках», надо в прямоугольной системе координат на оси  от начала координат отложить отрезок  величины  на осиот начала координат отрезок величины и, соединив их концы, получим  искомый график прямой.

 В уравнении  дробиидолжны быть со знаками «+». Если появляются знаки  «»,  унесите их в знаменатели. Говорим, что и это величины отрезков, а не длины. А это значит, что имогут быть не только положительными, но и отрицательными.

  Пример 42.  Построить прямую .

Решение Что можно сказать, глядя на заданное уравнение? Информации достаточно. Прямая описывается общим уравнением. Свободный коэффициент не равен нулю , следовательно,  прямая не проходит через начало координат. Вектор нормальный вектор этой прямой. Но нам нужно построить график этой прямой.  Приведем общее уравнение прямой к уравнению в «отрезках». Проследите за преобразованиями. Итак, уравнение заданной прямой в «отрезках» имеет вид: . Из него следует, что прямая отсекает на оси отрезок, величина  которого равна, т. е.а на оси отрезок, величина которого равна , т. е..  В декартовой системе координат на осиот начала координат откладываем отрезок величины. На оси отрезок величины . Соединяем концы этих отрезков и получаем искомый график прямой (рис. 8).