7. Декартова система координат на плоскости и в пространстве, координаты вектора.

Декартовые координаты вектора в ПДСК на плоскостии в пространстве.

Мы рассмотрим сразу общий случай координатного пространства. Координатнаяплоскостьбудет частным случаем, хотя можно все рассуждения повторить (практически дословно) и для плоскости.

   Пусть М – произвольная точка координатного пространстваОхуz.

Определение. Вектор называется радиус-вектором точки М.

Введем обозначения:

, ,.

Или, для произвольного вектора :

            , ,.

Определение. Проекции вектора на координатные оси называются его декартовыми координатами.

Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.)

Координаты точки М в ПДСК в пространствесовпадают с декартовыми координатами её радиус-вектора.

   Доказательство.

    

                                          рис.9.

   По определению, координаты точки М есть координатыточекнакоординатныхосях Ох, Оу, Оz соответственно, т.е.,,. Так как точки М илежат вплоскостиперпендикулярной оси Ох, то. По аналогичной причинеи. Отсюда и следуют доказываемые равенства:

, ,.

Теорема доказана.

   Заметим, что положение точки М в пространствеоднозначно определяется ее координатами, т.е. существуетвзаимнооднозначное соответствиемеждувсемиточкамипространстваи упорядоченными тройками действительныхчисел– их координатами. Вследствие этого, координатное пространство обозначают как декартов куб множества действительных чисел:. (Соответственно координатнуюплоскостькак декартов квадрат множества действительных чисел:)

   Далее, очевидно, существует биекция и междувсемиточкамипространстваи их радиус-векторами, а значит и между  радиус-векторамиточекпространстваи, т.е

их декартовыми координатами как упорядоченными тройками действительных чисел:

 .     (1)                   

   В силу этого взаимнооднозначного соответствия принято отождествлять радиус-векторс упорядоченной тройкой его декартовых координат:

.

              .                               (2)

   Пусть – произвольный векторпространстваи, отложив его от начала координат, получим. Т.к. проекции вектора на оси не зависят от выбора точки его начала, то можно записать:

               ,                 (3)

т.е. существует взаимнооднозначное соответствиемеждувсемивекторамипространстваи всеми упорядоченными тройками действительных чисел, их декартовыми координатами.

   Отсюда сразу же вытекает следующая теорема.

Теорема. (О равенстве векторов.)

 Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их декартовые координаты.

Определение. Записьвектора в виде (2) или (3) называется егокоординатнойформой записи.

Теорема. (О действиях с векторамивкоординатнойформе.)  При сложениивекторових декартовые координаты складываются, а при умножении вектора начислокаждаядекартоваякоординатавектора умножается на это число.

   Иначе, пусть ,,. Тогда: 1);

            2) .

   Доказательство. Сразу же следует из свойств проекции вектора на ось:

. .

Аналогично доказывается второеутверждение теоремы.

Теорема доказана.

Теорема. (О вычислении декартовых координатвектора.)

Для того, чтобы вычислить декартовые координаты вектора нужно из координатего конца вычесть координаты его начала.

   Иначе, пусть и,– координаты его начала и конца. Тогда

           (4)

   Доказательство. Пусть О(0; 0; 0) – начало координат. Тогда по правилу треугольника сложениявекторов

                

                                    рис.10.

 . Векторыиявляются радиус-векторамиточекА и В соответственно и их декартовые координаты совпадают с координатами этих точек:,. Применяя теорему о действиях свекторамивкоординатнойформе, получаем

             .

Теорема доказана.