54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.

Экстремумом функцииназывается максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называетсяточкой экстремума. Точканазывается точкойлокального максимума функции, если выполняется условие:Аналогично точканазывается точкойлокального минимума функции, если выполняется условие:

Точки, в которых производнаяравна нулю, называютсястационарными точками. Точки, в которых функциянепрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называютсякритическимиточками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка — точка экстремума функции, то она критическая.

Доказательство

По условию точка — точка экстремума функциипо теореме Фермапроизводнаяточкаявляется критической.

Пример:

Найти экстремум функции . Найдем производную этой функции:критические точки задаются уравнением. Корни этого уравненияи.

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3. Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: ив точкефункция имеет минимум, равный -4, а в точкефункция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию . Построим график этой функции:

Производная данной функции в точке по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция определена идифференцируемав некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точкии непрерывна в этой точке. Тогда:

1. Если производная меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку:и, то— точка строго минимума функции

2. Если производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку:и, то— точка строго максимума функции

Доказательство

Пусть, например, меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точкуна сегментеВоспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа:,. Поскольку при переходе через точкуфункция меняет знак с «-» на «+», тои, тоАналогично рассмотрим сегмент, получим— точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производнаяменяет знак при переходе через точку

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция , она определена в некоторой окрестности точки, ее перваяпроизводнаяи пусть, тогда:

1. Если , то точка— точка строгого минимума;

2. Если , то точка— точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда . По сколькунепрерывна, то на достаточно малом интервале, т.к, товозрастает в этом интервале., значитна интервалеина интервале. Таким образом функцияубывает на интервалеи возрастает на интервалепо первому достаточному условию экстремума функция в точкеимеет минимум. Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если и, то функцияможет и не иметь экстремум в точке

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть,и,Тогда:

1. Если (т.е— четное), то— точка экстремума:

• если , то— точка локального максимума;

• если , то— точка локального минимума;