47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.

Пусть теперь задана сложная функция, т.е. переменнаяесть функция переменной, а переменнаяесть, в свою очередь, функция от независимой переменной.

Теорема.Если и дифференцируемыефункции своих аргументов, то сложная функцияявляется дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:

.

Утверждение легко получается из очевидного равенства (справедливого прии) предельным переходом при(что в силу непрерывности дифференцируемой функции влечет).

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть на множестве дифференцируемая функцияимеет множество значенийи на множествесуществуетобратная функция.

Теорема.Если в точке производная, то производная обратной функциив точкесуществует и равна обратной величине производной данной функции:, или

.

Эта формула легко получается из геометрических соображений.

Так как есть тангенс угла наклона касательной линиик оси, тоесть тангенс угла наклона той же касательной (той же линии) в той же точкек оси.

Если иострые, то, а если тупые, то.

В обоих случаях . Этому равенству и равносильно равенство

.

 

48. Производные простейших элементарных функций.

Функция y = f(x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f(kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y=xn	y=nxn−1	y=(kx+b)n	y=nk(kx+b)n−1
y = x	y=1	y=(kx+b)	y=k
y=x	y=12x	y=kx+b	y=k12kx+b
y=x1	y=−1x2	y=1kx+b	y=−k1(kx+b)2
y = cos x	y=−sinx	y = cos (kx +b)	y=−ksin(kx+b)
y = sin x	y=cosx	y = sin (kx +b)	y=kcos(kx+b)
y = tg x	y=1cos2x	y = tg (kx +b)	y=k1cos2(kx+b)
y = ctg x	y=−1sin2x	y = ctg (kx +b)	y=−k1sin2(kx+b)
y = arcsin x	y=11−x2	y = arcsin (kx +b)	y=k11−(kx+b)2
y = arccos x	y=−11−x2	y = arccos (kx +b)	y=−k11−(kx+b)2
y = arctg x	y=11+x2	y = arctg (kx +b)	y=k11+(kx+b)2
y = arcctg x	y=−11+x2	y = arcctg (kx +b)	y=−k11+(kx+b)2
y=axa0a=1	y=axlnaa0a=1	y=akx+ba0a=1	y=kakx+blnaa0a=1
y=ex	y=ex	y=ekx+b	y=kekx+b
y=logaxa0a=1	y=1xlna	y=loga(kx+b)a0a=1	y=k1(kx+b)lna
y = lnx	y=x1x0	y = ln(kx +b)	y=k1kx+bkx+b0

49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.

Степенно-показательной функцией(илипоказательно-степенной, илифункцией в степени функция) называется функция вида

Рассмотрим способы нахождения ее производной.

1-ый способ

Применяя формулу:

То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.

Замечание

Порядок следования слагаемых неважен: можно вначале взять производную от показательной функции, а затем как от степенной, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется:

Пример

Задание.Найти производную функции

Решение.Применяем формулу. В рассматриваемом случае

Тогда имеем:

Ответ.

2-ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

Пример

Задание.Найти производную функциис помощью логарифмического дифференцирования.

Решение.Прологарифмируем левую и правую часть заданной функции, будем иметь:

По свойствам логарифмовв правой части полученного равенства степень подлогарифмической функции выносим перед логарифмом:

Дифференцируем левую и правую часть равенства. Слева берем производную как от сложной функции(так как- это функция от переменной), а справа - какпроизводную произведения:

А тогда

Ответ.

Больше примеров решенийРешение производных онлайн

3-ий способ

Представим функцию в следующем виде (используютсясвойства логарифмов):

Тогда

Пример

Задание.Найти производную функции

Решение.Представляем функцию в следующем виде:

Далее находим производную, от экспоненты берем производную как от сложной функции (см. производные сложных функций):

Ответ.