44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базысоздадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знаквместо.

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентностьиприозначает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав заменуи применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой. Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) (). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

7) (). Для доказательства сделаем заменуи выразимчерез:. Согласно формуле 6,при, откуда. Из непрерывности логарифма следует, чтои, значит,при. В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменногона, чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней .

1)	.
2)	.
3)	.
4)	.
5)	.
6)	().
)	.
7)	().
)	.

Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида .

Замеча́тельные преде́лы— термин, использующийся в советских и российских учебниках поматематическому анализудля обозначения некоторых широко известныхматематических тождествсо взятиемпредела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Содержание

• 1Первый замечательный предел

• 2Второй замечательный предел

• 3Литература

• 4См. также

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределыии докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K— точка пересечения луча с окружностью, а точкаL— с касательной к единичной окружности в точке. ТочкаH— проекция точкиKна осьOX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора)

(из :)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

Доказательство следствий  [показать]

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x  [показать]

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то. Поэтому, согласно пределу, имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для,

6.