Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка, прямаяaи требуется найти расстояние от точкиАдо прямойa.

Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М₁до прямойaсводится к нахождению расстояния от точкиМ₁до точкиH₁, гдеH₁- основание перпендикуляра, опущенного из точкиМ₁на прямуюa. Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.

Итак, приступим.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.

Так как по определению расстояние от точки М₁до прямойa– это длина перпендикуляраM₁H₁, то, определив координатыточкиH₁, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точкамиипо формуле.

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М₁к прямойa. Сделать это достаточно просто: точкаH₁– это точка пересечения прямойaс плоскостью, проходящей через точкуМ₁перпендикулярно к прямойa.

Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки до прямойa в пространстве, таков:

• составляем уравнение плоскости какуравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямойa;

• определяем координаты точкиH₁– точки пересечения прямойaи плоскости(смотрите статьюнахождение координат точки пересечения прямой и плоскоти);

• вычисляем требуемое расстояние от точки М₁до прямойaпо формуле.

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.

Так как в условии задачи нам задана прямая a, то мы можем определить ее направляющий вектори координатынекоторой точкиМ₃, лежащей на прямойa. Тогда по координатам точекимы можем вычислить координаты вектора:(при необходимости обращайтесь к статьекоординаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Отложим векторы иот точкиМ₃и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высотуМ₁H₁.

Очевидно, высота М₁H₁построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точкиМ₁до прямойa. Найдем.

С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S) может быть найдена черезвекторное произведение векторовипо формуле. С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть,, где-длина вектора, равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояниеот заданной точкиМ₁до заданной прямойaможет быть найдена из равенствакак.

Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямойa в пространстве нужно

• определить направляющий вектор прямой a() и вычислить его длину;

• получить координаты некоторой точкиМ₃, лежащей на прямойa, вычислить координаты вектора, найти векторное произведение векторовикаки получить его длину;

• вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле .

33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т. е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т. е. косинус угла между ними равен нулю.