30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).

Получим канонические уравнения прямой aв трехмерном пространстве. Аналогичные действия мы проводили, когда рассматриваликаноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координатOxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующийспособ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямаяa, и направляющий вектор прямойa. Будем считать, что точкалежит на прямойаи-направляющий вектор прямойа.

Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяет прямуюатогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторовив координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты векторанам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора- они равны разности соответствующих координат точеки, то есть,(при необходимости смотритенахождение координат вектора по координатам точек). Теперь записываем условие коллинеарности векторови:, где- произвольное действительное число (приточкиисовпадают, что нас тоже устраивает).

Если , то каждое уравнение системыможно разрешить относительно параметраи приравнять правые части:

Полученные уравнения вида в заданной прямоугольной системе координатOxyzопределяют прямуюa. Уравненияестьканонические уравнения прямой в трехмерном пространствев прямоугольной системе координатOxyz. Их также называютуравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.

Запись вида очень удобна, поэтому ее используют даже когда одно или два из чиселравны нулю (все три числаодновременно не могут быть равными нулю, так как направляющий векторвсегда ненулевой по определению). В этих случаях записьсчитается условной (так как содержатся нули в знаменателях) и ее следует понимать как, где. На этих частных случаях канонических уравнений прямой подробно остановимся в третьем пункте этой статьи (перейти кчастным случаям канонических уравнений прямой в пространстве).

Обратите внимание на следующие важные факты:

• если известно, что прямая проходит как через точку пространства , так и через точку, то канонические уравнения этой прямой можно записать как, так и;

• если - направляющий вектор прямой, то любой из векторовтакже является направляющим вектором данной прямой, следовательно, эта прямая в прямоугольной системе координатOxyzв трехмерном пространстве может быть определена как каноническими уравнениями прямой вида, так каноническими уравнениями прямой вида.

Приведем пару примеров канонических уравнений прямой в пространстве:

• , здесь;

• , здесь.

К началу страницы

Составление канонических уравнений прямой в пространстве.

Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве видасоответствуют прямой линии, которая проходит через точку, а направляющим вектором этой прямой является вектор. Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.

Покажем решения таких задач.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве задана каноническими уравнениями прямой вида. Напишите координаты всех направляющих векторов этой прямой.

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой, то есть, - один из направляющих векторов исходной прямой. Тогда множество всех направляющих векторов прямой можно задать как, где- параметр, принимающий любые действительные значения, кроме нуля.

Ответ:

Пример.

Напишите канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyzв пространстве проходит через точку, а направляющий вектор прямой имеет координаты.

Решение.

Из условия имеем . То есть, у нас есть все данные, чтобы написать требуемые канонические уравнения прямой в пространстве. В нашем случае.

Ответ:

Мы рассмотрели простейшую задачу на составление канонических уравнений прямой в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки прямой. Однако намного чаще встречаются задачи, в которых сначала требуется найти координаты направляющего вектора прямой, а уже потом записывать канонические уравнения прямой. В качестве примера можно привести задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямойи задачи нанахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.

К началу страницы