24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a, b и c, т. е. проходит через три точки A(a;0;0), B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем , т. е.или

(12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂) и М₃(х₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим век­торы ,,. Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем,  т. е.

(12.6)

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

26. Угол между плоскостями (вывод).

Пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

Под углом между плоскостями Q₁ и Q₂ понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

Угол    между  нормальными  векторами  иплоскостей Q₁ и Q₂ равен одному из этих углов (см. рис. 72).

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости Q₁ и Q₂ перпендикулярны    (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда, т. е.. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Если плоскости Q₁ и Q₂ параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали и(и наоборот). Но тогда, как известно координаты векторов пропорциональны:. Это и есть уcловиє параллельности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).

Пусть задана точка и плоскость Q своим уравнением. Расстояние d от точкидо плоскости Q находится по формуле

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой.

Расстояние d от точки M₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора , где— произвольная точка плоскости Q, на направление нормального вектора(см. рис. 74). Следовательно,

 

А так как точка принадлежит плоскости Q, то

Поэтому . Отметим, что если плоскость Q задана уравнением, то расстояние от точкидо плоскости Q может быть найдено по формуле

 

28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).

Если плоскости Q₁ и Q₂ перпендикулярны    (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда, т. е.. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Если плоскости Q₁ и Q₂ параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали и(и наоборот). Но тогда, как известно координаты векторов пропорциональны:. Это и есть условие параллельности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координатOxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некотороеуравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связаннаправляющий вектор прямой. Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координатOxyпроходит через две несовпадающие точкии.

Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскостивидазадает в прямоугольной системе координатOxyпрямую линию, проходящую через точкуи имеющую направляющий вектор.

Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точкии.

Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точкиМ₁иМ₂, является вектор, он имеет координаты(при необходимости смотрите статьювычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямойa– координаты ее направляющего вектораи координаты лежащей на ней точки(и). Оно имеет вид(или).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точкии. Они имеют видили.

Разберем решение примера.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки .

Решение.

Мы выяснили, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и, имеет вид.

Из условия задачи имеем . Подставим эти данные в уравнение. Получаем.

Ответ:

.

Если нам потребуется не каноническое уравнение прямой и не параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, а уравнение прямой другого вида, то от канонического уравнения прямой всегда можно к нему прийти.

Пример.

Составьте общее уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координатOxyна плоскости проходит через две точкии.

Решение.

Сначала напишем каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Оно имеет вид . Теперь приведем полученное уравнение к требуемому виду:.

Ответ:

.

На этом можно и закончить с уравнением прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости. Но хочется напомнить, как мы решали такую задачу в средней школе на уроках алгебры.

В школе нам было известно лишь уравнение прямой с угловым коэффициентомвида. Найдем значение углового коэффициентаkи числаb, при которых уравнениеопределяет в прямоугольной системе координатOxyна плоскости прямую линию, проходящую через точкиипри. (Если жеx₁=x₂, то угловой коэффициент прямой бесконечен, а прямуюМ₁М₂определяетобщее неполное уравнение прямойвидаx-x₁=0).

Так как точки М₁иМ₂лежат на прямой, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой, то есть, справедливы равенстваи. Решая систему уравнений видаотносительно неизвестных переменныхkиb, находимили. При этих значенияхkиbуравнение прямой, проходящей через две точкии, принимает видили.

Запоминать эти формулы не имеет смысла, при решении примеров проще повторять указанные действия.

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, если эта прямая проходит через точки и.

Решение.

В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид . Найдемkиb, при которых уравнениесоответствует прямой, проходящей через две точкии.

Так как точки М₁иМ₂лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, то есть, верны равенстваи. Значенияkиbнаходим как решение системы уравнений(при необходимости обращайтесь к статьерешение систем линейных уравнений):

Осталось подставить найденные значения ив уравнение. Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через две точкии, имеет вид.

Колоссальный труд, не так ли?

Намного проще записать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки и, оно имеет вид, и от него перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом:.

Ответ:

.

К началу страницы

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две несовпадающие точкии, через которые проходит прямаяM₁M₂. Получим уравнения этой прямой.

Нам известно, что канонические уравнения прямой в пространствевидаипараметрические уравнения прямой в пространствевидазадают в прямоугольной системе координатOxyzпрямую линию, которая проходит через точку с координатамии имеет направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой M₁M₂является вектор, и эта прямая проходит через точку(и), тогда канонические уравнения этой прямой имеют вид(или), а параметрические уравнения -(или).

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве проходит через две точкии.

Решение.

Мы выяснили, что в прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве канонические уравнения прямой, которая проходит через две точкии, имеют вид.

Из условия имеем , тогда искомые уравнения прямой запишутся как.

Ответ:

.

Если потребуется задать прямую М₁М₂с помощьюуравнений двух пересекающихся плоскостей, то сначала следует составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точкии, и из этих уравнений получить нужные уравнения плоскостей.