2.4. Элементы кинематики материальной точки и тела, совершающих вращательное движение: угол поворота, угловые скорость и ускорение. Их связь с линейной скоростью и линейным ускорением

Рис.2.4

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси вращения называют такое движение, при котором какие-либо две его точки остаются неподвижными в процессе движения. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения; все остальные точки твердого тела при вращательном движении описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, центры которых лежат на этой оси (рис.2.4).

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются: угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

Угол поворота  - угол между проведенными через ось вращения неподвижной полуплоскостью (плоскостью отсчета) и полуплоскостью, жестко связанной с телом и вращающейся вместе с ним. Угол поворота - псевдовектор - вектор, численно равный углу между двумя положениями радиуса R, направленный вдоль оси вращения и связанный с направлением вращения правилом векторного произведения (правилом правого винта).

С определенной степенью точности, под углом поворота можно подразумевать псевдовектор, численно равный углу, отсчитанному между двумя последовательными положениями радиус-вектора r, и связанный с направлением вращения правилом правого винта.

Угловая скорость  - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота  в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени:

. (2.16)

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта (векторного умножения).

При равномерном вращении ω = const, ω = φ/t. Равномерное вращательное движение характеризуется периодом, частотой вращения и циклической или круговой частотой.

Период (T) - время, в течение которого тело сделает один полный оборот.

Частота (n) - число оборотов, совершаемых в единицу времени.

Круговая (циклическая) частота ω - число оборотов, совершаемых за время, равное 2π. Между периодом, частотой и круговой частотой имеется связь:

ω = 2πn = 2π/T; n = 1/T. (2.17)

Угловая скорость может изменяться как по величине, так и по направлению. Векторная физическая величина, характеризующая изменению угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени, называется угловым ускорением

. (2.18)

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно - в случае замедленного.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости, которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от угловой скорости  и расстояния соответствующей точки до оси вращения r.

Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения, двигаясь по траектории (окружности), проходит путь (рис.2.5):

Рис.2.5

S = r. (2.19)

Поделив обе части данного равенства на t; при t0 получим некоторые пределы от левой и правой частей:

или . (2.20)

Так как dS/dt = v, а dφ/dt = ω, то

v = rω. (2.21)

Полученная формула устанавливает связь между численными значениями линейной и угловой скорости, а также радиус-вектором r. Из нее видно, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Векторы v, ω и r перпендикулярны друг другу, следовательно, можно записать:

v = rω sinα или v = [ωr]. (2.22)

Известно, что a² = a_t² + a_n², где a_t = dv/dt, a_n = v²/r. Следовательно, связь между полным линейным ускорением, тангенциальным и нормальным ускорениями имеет вид:

(2.23)

Из написанных формул видно, что тангенциальное, нормальное и полное ускорения растут с увеличением расстояния от этих точек до оси вращения.

Можно показать, что любое сложное движение можно представить в виде поступательного и вращательного движений.

Надо отметить, что к вращательному движению применимы все формулы кинематики материальной точки, с заменой в них линейных величин соответствующими угловыми величинами. Например:

S = v₀t + at²/2; φ = ω₀t + εt² /2. (2.24)

Уравнением вращательного движения в кинематике называют выражение, которое отображает функциональную зависимость угла поворота от времени:

 = f(t).

В физике в качестве основной угловой меры принят радиан. Угол в радианах получается как отношение пройденного материальной точкой пути S к радиусу соответствующей окружности (см. рис.2.5):

.