7.5. Энергия системы, совершающей вращательное движение

При вращательном движении твердого тела любая ее элементарная масса m_i имеет свою собственную линейную скорость v_i, но одну и ту же угловую скорость, которая равна угловой скорости  тела. Кинетическая энергия такой элементарной массы

, (7.35)

где v_i = ωr_i.

Подставив значение VI в (7.35) будем иметь

, (7.36)

где I_i = m_ir_i² - момент инерции материальной точки относительно выбранной оси вращения.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек:

, (7.37)

где - момент инерции тела относительно той же оси вращения.

Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего вращательное движение относительно неподвижной оси вращения, прямо пропорциональна квадрату угловой скорости тела и его моменту инерции.

Так как M = I = I(d/dt), а  = dt, следовательно,

. (7.38)

То есть работа внешних сил, действующих на вращающуюся относительно неподвижной оси материальную точку (тело, систему), равна изменению кинетической энергии:

. (7.39)

7.6. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия и устойчивость системы

Потенциальная энергия - физическая величина, характеризующая способность системы совершать работу, связанную с изменением конфигурации и взаимного расположения тел или частей в системе.

Физический смысл имеет только понятие потенциальная энергия системы.

Изменение конфигурации системы, взаимного расположения тел или частей одного и того же тела возможно при переходе системы из одного состояния в другое. При этом происходит изменение потенциальной энергии, которое не зависит: а) от начального значения потенциальной энергии; б) промежуточных состояний системы; в) пути перехода системы из состояния в состояние. Изменение потенциальной энергии системы зависит только от начального и конечного ее состояний и равно работе внутренних (консервативных) сил системы, взятой с обратным знаком

dW_p = - dA. (7.40)

За счет изменения энергии dW_p совершается элементарная работа.

Знание потенциальной энергии играет большую роль при определении условий устойчивости тел. Так как модулю dA = dW_p = Fdxcos и при  = 0 dW_p = Fdx, то

. (7.41)

Известно, что в положении равновесия действующая на тело сила F = 0. Таким образом,

. (7.42)

Это означает, что в положении равновесия потенциальная энергия W_p либо минимальна, либо максимальна.

Возникающая при отклонении от положения равновесия сила направлена к положению равновесия, а, следовательно, при удалении от положения равновесия эта сила совершает отрицательную работу; потенциальная энергия тела (системы) при этом возрастает. Это означает, что в положении равновесия потенциальная энергия системы минимальна.

Таким образом, признаками устойчивого равновесия (положения) являются

;  0, (7.43)

то есть минимум потенциальной энергии.

Потенциальная энергия является более общей характеристикой воздействия тел или частиц друг на друга, приводящей к изменению состояния их движения.

7.6.1. Связь между потенциальной энергией и силой

Рис.7.3

Получим формулу, связывающую потенциальную энергию и силу. Этой формулой часто пользуются, если известно распределение потенциальной энергии (потенциала) в пространстве. Вычислим элементарную работу силы при малом перемещении тела, происходящего вдоль произвольно выбранного направления в пространстве. Введем прямоугольную систему координат Х, У, Z (рис.7.3).

Элементарная работа может быть представлена в виде

. (7.44)

В свою очередь вектора иможно разложить в пространстве на три составляющих вектора:

, (7.45)

. (7.46)

После подстановки (7.45) и (7.46) в (7.44) и осуществления скалярного по- членного перемножения получим

. (7.47)

Пусть в данном случае работа осуществляется за счет запаса потенциальной энергии .

Тогда

. (7.48)

Приращение потенциальной энергии представляет собой так называемый полный дифференциал

. (7.49)

Сравнивая (7.48) и (7.49), получим

. (7.50)

Следовательно,

. (7.51)

В математике векторный оператор называется градиентом функцииf.

Градиент скалярной функции – это вектор, показывающий направление увеличения этой функции. Применяя указанную символику, можно записать

или . (7.52)

Таким образом, сила, действующая на тело, направлена в сторону убывания потенциальной энергии. Примером тому служит направления силы тяжести , упругой силы , кулоновской силы и др.

Первоначально в физике утвердилось представление о том, что взаимодействие между телами может осуществляться непосредственно через пустое пространство, которое не принимает участия в передаче взаимодействия, передача взаимодействия происходит мгновенно. В этом состояла так называемая концепция дальнодействия. После открытия и исследования электромагнитного поля теория дальнодействия оказалась не соответствующей действительности.

Было установлено, что взаимодействие электрически заряженных тел осуществляется не мгновенно и перемещение одной заряженной частицы приводит к изменению сил, действующих на другие частицы, не в тот же момент времени, а лишь спустя конечное время. Каждая электрически заряженная частица создает электромагнитное поле, действующее на другие частицы, то есть взаимодействие передается через «посредника» - электромагнитное поле, которое является носителем потенциальной энергии взаимодействия. Скорость распространения электромагнитного поля равна скорости распространения света в вакууме. Возникла новая концепция - концепция (теория) близкодействия, которая была распространена и на другие взаимодействия и поля. Согласно теории бизкодействия взаимодействие между телами осуществляется посредством тех или иных полей, непрерывно распределенных в пространстве, которые являются «носителями» потенциальной энергии взаимодействия.

После появления квантовой теории поля представление о взаимодействии существенно изменилось. Согласно этой теории любое поле является не непрерывным, а имеет дискретную структуру. Вследствие корпускулярно-волнового дуализма каждому полю должны соответствовать определенные частицы. Так, заряженные частицы непрерывно испускают и поглощают фотоны, которые и образуют окружающее их электромагнитное поле. Электромагнитное взаимодействие в квантовой теории поля является результатом обмена частиц фотонами - квантами электромагнитного поля, то есть фотоны являются переносчиками этого взаимодействия. Аналогично другие виды взаимодействия возникают в результате обмена частиц квантами соответствующих полей.

Несмотря на разнообразие воздействий тел друг на друга (зависящих от взаимодействия слагающих их элементарных частиц), в природе, по современным данным, имеются лишь четыре типа фундаментальных взаимодействий. Это (в порядке возрастания интенсивности взаимодействия): гравитационное взаимодействие, слабое взаимодействие, электромагнитное взаимодействие, сильное взаимодействие. Интенсивности взаимодействия определяются константами связи (в частности, для электромагнитного взаимодействия константой связи является электрический заряд).

Современная квантовая теория электромагнитного взаимодействия превосходно описывает все известные электромагнитные явления. В 60-70-х годах в основном построена единая теория слабого и электромагнитного взаимодействий (так называемая электрослабое взаимодействие) лептонов и кварков.

Современной теорией сильного взаимодействия является квантовая хромодинамика. Делаются попытки объединения электрослабого и сильного взаимодействий (так называемое «Великое объединение»), а также включения в единую схему гравитационного взаимодействия.