3.5. Основной закон динамики вращательного движения

Мысленно разобьем тело с закрепленной осью вращения на совокупность материальных точек с массами , каждая из них находится от оси вращения на расстоянии. На точку с индексомдействует сила

. (3.62)

Интересуясь исключительно вращательным движением, удержим только касательную составляющую этой силы:

. (3.63)

Итак,

. (3.64)

Умножим (3.64) на , получим

. (3.65)

Но , поэтому момент силы, действующей на -ю материальную точку:

. (3.66)

Полный момент

. (3.67)

Введем обозначение – момент инерции материальной точки относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно оси вращения получим путем суммирования по всем материальным точкам данного тела:

. (3.68)

Тогда можно представить (3.67) в виде

. (3.69)

Или в векторном представлении

. (3.70)

Формулы (3.69) и (3.70) выражают основной закон динамики вращательного движения.

Выразим угловое ускорение из (3.70):

. (3.71)

Следовательно, угловое ускорение прямо пропорционально полному моменту сил, приложенных к данному телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения.

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной оси (центра вращения) называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного от оси (из центра вращения О) в место нахождения материальной точки, на вектор p ее импульса:

L = [rp] = [rmv], (3.72)

где m - масса материальной точки; v - скорость материальной точки.

Моментом импульса системы (тела) относительно неподвижного центра вращения О называется геометрическая сумма L моментов импульса относительно той же точки О всех материальных точек системы:

, (3.73)

где r_i, m_i, v_i - радиус-вектор, масса и скорость i-й материальной точки;

n - общее число этих точек в системе.

Если тело закреплено в точке О и его угловая скорость совпадает по направлению с вектором L, то момент импульса такого тела

L = Iω. (3.74)

Так как ε = dω/dt, то

. (3.75)

Формула (3.75) отображает общий вид второго закона динамики для тел, вращающихся относительно неподвижной оси; В данном виде он применим и для деформирующихся тел. При I = const формула (3.75) переходит в (3.70).

Основной закон динамики вращательного движения аналогичен второму закону Ньютона для материальной точки или тела, движущегося поступательно.

Можно указать также и закон, аналогичный третьему закону Ньютона: если одно тело действует на другое с некоторым вращающим моментом M₁₂, то всегда второе тело оказывает обратное воздействие на первое с вращающим моментом M₂₁, равным, но противоположно направленным:

M₁₂ = - M₂₁. (3.76)

Из (3.75)

Mdt = dL. (3.77)

Произведение вращающего момента на время его действия Mdt называется импульсом вращающего момента. Импульс вращающего момента является вектором, ориентированным по направлению вектора M.

Пользуясь этими понятиями, второй закон механики для вращательного движения можно сформулировать следующим образом: импульс вращающего момента равен изменению момента количества движения тела, к которому приложен этот вращающий момент:

Mdt = dL = d(Iω). (3.78)