7.7. Энергия упругой деформации

При действии на систему силы упругой деформации происходит изменение конфигурации системы. В этом случае за счет работы силы упругости происходит изменение потенциальной энергии системы:

dA = dW_p. (7.87)

Таким образом, определив работу силы упругой деформации, можно найти изменение потенциальной энергии системы, а следовательно, и энергию системы.

Предположим, что сила упругости действует на некоторый стержень. В результате его длина увеличивается на некоторую величину l.

Сила упругой деформации, в пределах выполнения закона Гука, пропорциональна удлинению стержня:

F = kl, (7.88)

где l - удлинение стержня;

k - коэффициент пропорциональности, численно равный силе упругой деформации, вызывающей удлинение стержня на единицу, – коэффициент упругости ().

Из теории пластической деформации, сила упругости (сила упругой деформации) определяется по формуле:

, (7.89)

где  = F/S - нормальное напряжение;

S - площадь поперечного сечения стержня;

E - физическая величина, численно равная нормальному напряжению, вызывающему единичное относительное удлинение стержня  (модуль Юнга);

 = l/l - относительное удлинение.

Если предположить, что стержень представляет собой некоторый куб с ребром, равным l, то работа, совершаемая силой упругой деформации по растяжению стержня на l, можно определить по формуле

. (7.90)

Так как A = - W_p = W_p – W₀ = W_p, то потенциальная энергия упругой деформации при продольном растяжении (или одностороннем сжатии) будет равна

Рис.7.5

. (7.91)

Таким образом, энергия упругой деформации, в пределах выполнения закона Гука, пропорциональна квадрату удлинения стержня.

Потенциальная энергия упругого сжатия будет положительна по знаку и при сжатии, и при растяжении пружины. На рисунке 7.5 представлен график зависимости потенциальной энергии пружины от ее удлинения x: .

7.8. Энергия системы, совершающей колебательное движение

Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебательное движение, равна сумме потенциальной и кинетической энергий системы.

Изменение потенциальной энергии системы равно работе возвращающей силы, взятой с обратным знаком:

W_p = - A. (7.92)

Формула для определения элементарной работы возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на dx имеет вид

dA = Fdxcos = Fdx = - kxdx. (7.93)

Тогда

, (7.94)

где x = x₀ sin(ω₀t + φ₀) - смещение системы от положения равновесия.

Следовательно, так как в положении равновесия потенциальная энергия системы W₀ = 0, то в произвольном положении потенциальная энергия системы равна

. (7.95)

Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание, находится по формуле

, (7.96)

где v = d²x/dt² = x₀₀cos(₀t + ₀) - линейная скорость системы;

k = m₀² - коэффициент возвращающей силы.

Таким образом, полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание, будет равна

. (7.97)

Следовательно, полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебательное движение, пропорциональна квадрату амплитуды.

Надо отметить, что:

1) в процессе колебательного движения кинетическая энергия системы переходит в ее потенциальную энергию и наоборот;

2) в случае сложного движения полная механическая энергия системы равна сумме энергий всех видов движения и взаимодействий этой системы.

Например, в случае, если тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью , совершает колебательное движение, то полная механическая энергия его движения

. (7.98)

Рис.7.6

Рассчитаем кинетическую энергию шарика массой и радиусом, который скатывается с наклонной плоскости высотой(рис.7.6). Кинетическая энергия вращательного движения в данном случае можно определить по формуле

. (7.99)

С учетом кинетической энергии поступательного движения получим полную кинетическую энергию

. (7.100)

Определив кинетическую энергию шарика у основания наклонной плоскости можно определить скорость, которую приобретает шарик в данном случае. При условии выполнимости закона сохранения механической энергии первоначальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Откуда

. (7.101)

И, следовательно, скорость поступательного движения центра шарика составляет , а не, что имели бы при отсутствии вращательного движения.