- •В.М. Полунин, г.Т.Сычев
- •Физические основы механики
- •Конспект лекций
- •Содержание
- •От авторов
- •Лекция 1. Вводная
- •Лекция 2. Элементы кинематики
- •2.1. Механика и ее разделы. Физические модели: материальная точка (частица), абсолютно твердое тело (система материальных точек), сплошная среда
- •2.2. Пространственно-временные отношения. Развитие представлений о свойствах пространства и времени в механике
- •2.3. Системы отсчета и описание движений. Элементы кинематики материальной точки: перемещение, скорость и ускорение
- •2.4. Элементы кинематики материальной точки и тела, совершающих вращательное движение: угол поворота, угловые скорость и ускорение. Их связь с линейной скоростью и линейным ускорением
- •2.5. Гармонические колебательные движения и их характеристики: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, скорость и ускорение
- •2.6. Методы сложения гармонических колебаний. Векторные диаграммы. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
- •2.7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •Лекция 3.Элементы динамики материальной точки и твердого тела
- •3.2. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета
- •3.3. Описание движения в неинерциальных системах отсчета
- •3.3.1. Силы инерции при ускоренном движении системы отсчета
- •3.3.2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета
- •3.3.3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (сила Кориолиса)
- •Силы инерции, возникающие в неинерциальной системе отсчета в зависимости от состояния частицы
- •3.5. Основной закон динамики вращательного движения
- •3.6. Сопоставление формул динамики вращательного и динамики поступательного движений
- •Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения
- •Лекция 4. Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды
- •4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение
- •4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот
- •4.2.1. Пружинный маятник
- •4.2.2. Физический и математический маятники
- •4.3. Свободные (затухающие колебания). Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний
- •4.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 5.Ангармонические колебания
- •5.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность
- •5.2. Автоколебания. Обратная связь. Условие самовозбуждения. Роль нелинейности. Предельные циклы
- •Лекция 6. Физика волн. Волновые процессы
- •6.1. Кинематика и динамика волновых процессов. Плоская стационарная и синусоидальная волна
- •6.2. Уравнение плоской волны
- •6.3.Волновое уравнение
- •6.4. Интерференция волн. Стоячие волны
- •Лекция 7.Энергия, работа, мощность
- •7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл
- •Из (7.1) следует, что при
- •7.1.1. Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси
- •7.2. Мощность
- •Различают мгновенную мощность и среднюю мощность.
- •Поскольку
- •7.3. Энергия как универсальная мера различных форм движений и взаимодействий
- •7.4. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе
- •7.5. Энергия системы, совершающей вращательное движение
- •Подставив значение VI в (7.35) будем иметь
- •То есть работа внешних сил, действующих на вращающуюся относительно неподвижной оси материальную точку (тело, систему), равна изменению кинетической энергии:
- •7.6. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия и устойчивость системы
- •7.6.1. Связь между потенциальной энергией и силой
- •7.6.2. Внутренняя энергия
- •7.6.3. Силовые поля. Поле как форма существования материи. Поле как форма существования материи осуществляющая силовое взаимодействие между материальными объектами. Характеристики силовых полей
- •Второй характеристикой силового потенциального поля является потенциал.
- •7.6.4. Потенциальная энергия материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле
- •7.6.5. Поле центральных сил. Движение в поле центральных сил
- •Элементарная работа по перемещению массы на элементарном отрезке dr:
- •Из полученного соотношения видно:
- •В случае, когда сила притяжения будет равна центростремительной силе, то
- •Подставляя значения vа и vп в формулу (7.41), будем иметь
- •Подставив в формулу (7.83) значения r и V, будем иметь t 92 мин.
- •7.7. Энергия упругой деформации
- •7.8. Энергия системы, совершающей колебательное движение
- •Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание, находится по формуле
- •Лекция 8. Законы сохранения в механике
- •8.1. Закон сохранения энергии в механике
- •8.1.1. Общефизический закон сохранения энергии
- •8.1.2. Закон сохранения и превращения механической энергии
- •8.2. Закон сохранения импульса. Центр инерции. Закон движения центра инерции
- •8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов
- •В векторной форме
- •8.4. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям (удару)
- •8.4.1. Абсолютно неупругий удар шаров
- •Лекция 9. Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика
- •9.1. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике
- •9.2. Постулаты и представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности
- •9.3. Преобразования Лоренца для координат и времени
- •9.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.4.1. Закон сложения скоростей в теории относительности
- •9.4.2. Сокращение движущихся масштабов длин
- •9.4.3.Замедление хода движущихся часов
- •Лекция 10.Релятивистская динамика
- •10.2. Четырехмерное пространство - время. Преобразования в четырехмерном пространстве
- •10.2.1. Основные понятия
- •10.2.2. Кинематика четырехмерного пространства-времени
- •10.2.3. Динамика четырехмерного пространства-времени
- •10.3. Столкновения релятивистских частиц. Законы сохранения энергии и импульса
- •10.4. Значение теории относительности
- •Библиографический список Основной
- •Дополнительный
- •Физика Физические основы механики Конспект лекций
10.2.3. Динамика четырехмерного пространства-времени
Первый закон специальной теории относительности утверждает существование в природе систем отсчета сколь угодно близких инерциальным системам отсчета. При этом полагается, что не только механические, но и всякие другие явления выглядят в таких системах наиболее просто и описываются простыми уравнениями. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.
Второй закон Ньютона в специальной теории относительности формулируется так же, как и в классической механике, с помощью понятия импульса тела. При этом импульс тела представляется в четырехмерном пространстве-времени.
Импульсом в четырехмерном пространстве-времени называют величину
p = m0v, (10.41)
где m0 - масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);
v - скорость тела.
Запишем это равенство в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета:
; ;
; . (10.42)
Так как , - масса движущейся материальной точки, то величины (10.42)проекций обычного импульса материальной точки в той системе отсчета, по отношению к которой ее скорость равна v
; ;
; . (10.43)
Первые три выражения в (10.43) - проекции обычного импульса на оси x, у и z в четырехмерной системе отсчета пространство-время.
Уравнение движения материальной точки в четырехмерной системе отсчета пространство-время должно быть ковариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, т.е. и справа, и слева должны быть векторы в четырехмерной системе отсчета пространство-время. Кроме того, слева должна стоять быстрота (скорость) изменения импульса, а справа сила. Так как изменение импульса за малое время dτ в рассматриваемой системе отсчета вектор dp = p - p0, а время dτ для всех систем отсчета одно и то же, то dp/dτ - вектор, равный силе в четырехмерной системе отсчета пространство-время.
Таким образом, уравнение движения материальной точки в четырехмерной системе отсчета пространство-время будет иметь вид
. (10.44)
Заменив в (10.44) dτ на , получим
. (10.45)
Распишем уравнение (10.45) в проекциях на соответствующие оси координат четырехмерной системы отсчета пространство-время с учетом того, что p1 = px, p2 = pу, p3 =pz, p4 = imc:
; ;
; . (10.46)
В первых трех уравнениях формул 10.46 слева стоят производные от проекций импульса по обычному времени, т.е. по часам той системы, в которой скорость тела (материальной точки) равна v. Справа проекция обычной трехмерной силы:
; ;
. (10.47)
Таким образом, проекции силы в четырехмерной системе отсчета отличаются от проекций силы в трехмерной системе координат множителем , а первые три проекции релятивистского уравнения движения – это закон изменения трехмерного импульса, т.е. второй закон Ньютона, записанный в проекциях на осиx, у и z с учетом .
Для выяснения смысла четвертой проекции (10.46) определим скалярное произведение v на F:
(10.48)
или через проекции:
v1F1 + v2F2 + v3F3 + v4F4 = 0. (10.49)
Отсюда
. (10.50)
Подставляя в правую часть равенства (10.50) вместо проекций векторов в четырехмерной системе отсчета пространство-время их выражения через проекции трехмерных векторов, получим
. (10.51)
Подставляя полученное выражение для F4 в четвертую проекцию релятивистского уравнения движения (10.46), получим
. (10.52)
Умножая (10.52) на ic, будем иметь
. (10.53)
Но , следовательно:
. (10.54)
Так как mc2 = E, то уравнение (10.54) можно записать в виде соотношения
. (10.55)
Соотношение (10.55) выражает закон изменения энергии материальной точки в специальной теории относительности.
Таким образом, релятивистские уравнение движения или- это закон изменения импульса и энергии, а сам релятивистский импульс - вектор энергии-импульса, так как первые его проекции образуют обычный трехмерный импульс, а четвертая проекция отличается от энергии материальной точки (тела) множителемi/c. Действительно,
. (10.56)
Связь между трехмерным импульсом и энергией можно установить, если возвести в квадрат выражение
,
которое после соответствующих преобразований будет иметь вид
. (10.57)
Так как mv = p, то
. (10.58)
Умножая (10.58) на с2 и учитывая, что mc2 = E, получаем
, (10.59)
вместо имевшегося в классической механике выражения
. (10.60)
Уравнение (10.59) было получено ранее, но из других соображений.
Можно показать, что из (10.59) при v2c2 вытекает (10.60). Надо отметить, что при v2c2 из формул релятивистской механики можно получить соответствующие формулы классической механики.
Следует отметить, что работу dA = dE совершает результирующая сила f, а это означает, что величина
(10.61)
- это энергия, обусловленная движением тела, т.е. аналог кинетической энергии в классической механике.
Частицу, не находящуюся в силовых полях (гравитационном, электрическом), называют свободной, а потому энергию E = mc2 часто называют энергией свободной частицы.