8.1.2. Закон сохранения и превращения механической энергии

Закон сохранения энергии в механике представляет собой частный случай всеобщего закона сохранения энергии в природе. В нем речь идет о постоянстве полной энергии. Полной энергией тела в механике называют сумму кинетической и потенциальной энергий данного тела.

Под механической системой подразумевают совокупность материальных тел (точек), рассматриваемых как единое целое.

Силы взаимодействия между материальными телами (точками) механической системы называются внутренними силами.

Силы, с которыми на материальные тела системы действуют внешние (по отношению к данной механической системе) тела, называются внешними силами.

Закон сохранения механической энергии выполняется в изолированной (замкнутой) системе тел. Замкнутой системой тел называется совокупность тел, которые взаимодействуют между собой и не взаимодействуют с другими телами, не принадлежащими этой системе. Замкнутую систему представляет группа астероидов, находящаяся вдали от планет; молекулы газа, сталкивающиеся между собой и со стенками сосуда. Закон сохранения полной механической энергии можно вывести строго математически

Рассмотрим полную механическую энергию некоторой системы, состоящей из n тел массами m₁, m₂, m₃, ....., m_n, каждое из которых движется соответственно со скоростями v₁, v₂, v₃, ......, v_n.

Уравнение движения каждого из тел имеет следующий вид:

;

…………………….;

, (8.1)

где - равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из масс;

- равнодействующие внешних консервативных сил, действующих на каждую из масс;

- равнодействующие внешних неконсервативных сил, действующих на каждую из масс.

Двигаясь под действием сил, тела системы за некоторый промежуток времени dt могут изменить свое положение в системе, совершить некоторые перемещения dr₁, dr₂, dr₃, ..., dr_n.

Умножим каждое из уравнений движения скалярно на соответствующее перемещения и, заменив dr_i = vi∙dt, получим

;

;

…………………………………….;

. (8.2)

Сложив эти уравнения, будем иметь

, (8.3)

где - изменение кинетической энергии системы;

- элементарная работа внутренних и внешних консервативных сил, взятая со знаком минус, т.е. изменение потенциальной энергии системы;

- работа внешних неконсервативных сил, действующих на систему.

Таким образом, имеем

d(W_k + W_p) = dA. (8.4)

Следовательно, элементарное изменение полной механической энергии системы при переходе из состояния в состояние равно элементарной работе, совершаемой внешними неконсервативными силами, действующими на систему.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (8.4) следует, что

d(W_k + W_p) = 0, (8.5)

откуда

W_k + W_p = const, (8.6)

т.е. полная механическая энергия замкнутой системы (в отсутствие внешних воздействий), в которой действуют только консервативные силы, остается величиной постоянной. Данное утверждение и называют законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантен относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения и не зависят от того, когда тело начало падать.

Системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические), формы, называются диссипативными системами.

Процесс уменьшения механической энергии системы под влиянием внешних факторов называют процессом диссипации (или рассеяния) энергии.

Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.