10.3. Столкновения релятивистских частиц. Законы сохранения энергии и импульса

В специальной теории относительности оказывается справедливым и третий закон Ньютона:

F_μ,n = - F_n,μ, (10.62)

где F_μ,n и F_n,μ силы взаимодействия материальных точек в четырехмерной системе пространство-время, которые естественно отличаются (четвертой проекцией) от сил взаимодействия в трехмерном пространстве (в классической механике).

Для системы материальных точек можно установить закон сохранения импульса в теории относительности (закон изменения релятивистского импульса).

Имеем ,

где p - релятивистский импульс;

F - внешняя четырехмерная сила, действующая на систему.

В случае замкнутой системы из N материальных точек, в отсутствие внешних воздействий, имеем

dp = 0 или p = p₀, (10.63)

то есть

p = const, (10.64)

где p и p₀ - импульсы после и до взаимодействия.

Таким образом, в замкнутой системе материальных точек в отсутствии внешних воздействий релятивистский импульс сохраняется.

Для компактной записи векторов в четырехмерной системе отсчета можно ввести орт l нормальный к обычным ортам i, j, k. Тогда любой вектор (например, B) в четырехмерной системе отсчета запишется в виде

B = B₁i + B₂j + B₃k +B₄l,

или

B = b + B₄l,

где b - трехмерная часть вектора B четырехмерной системы отсчета, а B₄l - его мнимая часть.

С учетом сказанного векторы S, v, p запишутся в виде

(10.65)

(10.66)

(10.67)

В уравнениях (10.65) – (10.67) S, v, p - векторы четырехмерной системы отсчета пространство-время, а r, v^', p^' - их трехмерные составляющие.

С учетом изложенного равенства (10.63, 10.64) можно записать так:

, (10.68)

. (10.69)

В формулах (10.68, 10.69) указано разное число частиц, так как при взаимодействии (ударе) могут образоваться новые частицы.

Учитывая правила сравнения комплексных чисел, равенство (10.68) можно переписать в виде двух равенств

, (10.70)

. (10.71)

С учетом постоянства скорости света и l (10.71) запишется как

. (10.72)

Равенство (10.70) отображает закон сохранения релятивистского импульса, а (10.72) - закон сохранения релятивистской массы (а значит, и энергии).

Отметим, что формулы (10.62) – (10.72), строго говоря, справедливы лишь при взаимодействии материальных точек в одной и той же точке пространства. Если же материальные точки в пространстве-времени разделены, то (10.62) и становятся неверными.

Уравнение движения в компактной форме в теории относительности можно записать так:

, или .

С учетом того, что

и

получим

, (10.73)

. (10.74)

Равенство (10.73) - трехмерная часть закона движения в четырехмерной системе отсчета пространство-время или закон изменения трехмерной части импульса. Равенство (10.74) в проекции на орт l приводит, очевидно, к

,

что является законом изменения кинетической энергии.

То, что равенство (10.62) описывает взаимодействие, происходящее в одной и той же точке пространства-времени (т.е. мгновенный удар при непосредственном контакте обеих материальных точек), следует из самого равенства (10.62). Именно, представляя силу F в виде двух слагаемых, получим

. (10.75)

Но тогда (10.62) распадается на два равенства:

(10.76)

и

. (10.77)

Эти два равенства не противоречат друг другу лишь при v_ = v_n, а это означает, что обе взаимодействующие материальные точки движутся совместно, т.е. их взаимодействие происходит в точке.