Подставляя значения vа и vп в формулу (7.41), будем иметь

. (7.76)

После соответствующих преобразований

. (7.77)

Подставив в формулу (7.77) значения из формулы (7.74), получим

. (7.78)

Отсюда, при удалении афелия в бесконечность, т. е. при r_п<<r_а, значением r_п можно пренебречь по сравнению с r_а:

. (7.79)

Если v_п = v₀, а r_п = r₀, то при

(7.80)

орбита из замкнутой (эллиптической) превратится в незамкнутую - параболическую. При увеличении начальной скорости v₀ тело будет двигаться по гиперболе.

Таким образом, из соотношения (7.78) можно сделать следующие выводы:

1) при - орбиты замкнуты;

2) при - орбиты разомкнуты.

7.6.6. Космические скорости

Законы движения в поле центральных сил справедливы и для движения искусственных спутников Земли и космических аппаратов.

После того, как ракета-носитель поднимается на достаточную высоту, на которой плотность земной атмосферы, а следовательно, и её сопротивление малы, двигатели ракеты - носителя отключаются. Дальнейшее движение объекта можно считать происходящим под действием сил тяготения.

Наиболее простым является случай движения космического аппарата на определенной постоянной высоте h над поверхностью Земли. В этом случае тело должно обладать скоростью, значение которой можно определить, воспользовавшись уравнением движения:

F = ma, (7.81)

где F=mg; a = v²/R.

. (7.82)

Подставив в (7.82) значения g = 9,8 м/с² и R = 6,3810⁶ м, получим значение первой космической скорости v = 7,9210³ м/с, двигаясь с которой тело становится искусственным спутником Земли.

При v₀<v спутник движется по эллипсу. При этом точка, в которой выключаются двигатели, - афелий. В перигелии спутник приближается к поверхности Земли, входит в более плотные слои атмосферы, испытывает сильное торможение, теряет скорость и прекращает существование.

При v₀>v спутник тоже будет двигаться по эллипсу. Но в данном случае точка, в которой выключаются двигатели, - перегелий. Спутник не приближается к поверхности Земли, его торможение незначительно, он может длительное время находиться на заданной орбите.

Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите, можно рассчитать по формуле

. (7.83)

Подставив в формулу (7.83) значения r и V, будем иметь t  92 мин.

Сила тяготения, действующая на космический аппарат, направленная к центру Земли, лежит в плоскости орбиты, не изменяет положение этой плоскости относительно Солнца и звезд. Если за один оборот Земли вокруг своей оси спутник делает несколько оборотов по своей орбите, то траектория движения спутника относительно Земли представляет собой ряд «витков», сдвинутых по экватору на тот угол, на который Земля успевает повернуться за один полный оборот.

Под действием незначительных сил сопротивления атмосферы скорость спутника уменьшается, уменьшается радиус кривизны его траектории. Орбита оказывается не эллиптической, а представляет собой скручивающуюся спираль, в начале с малым шагом. По мере приближения к Земле сопротивление атмосферы возрастает, и шаг спирали увеличивается. Для того чтобы спутник не прекратил своего существования, проводят коррекцию его орбиты.

Для возвращения на Землю космических аппаратов применяют специальные тормозные системы, резко уменьшающие их скорость, вследствие чего траектория аппарата сильно изменяется по отношению к поверхности Земли. Корабль входит в плотные слои атмосферы, происходит баллистическое торможение, и после включения двигателей мягкой посадки он совершает мягкую посадку.

Имея первую космическую скорость, космический аппарат совершает движение вокруг Земли. Но этой скорости оказывается недостаточно для того, чтобы он вышел из сферы земного притяжения. Для осуществления задачи по преодолению сил земного притяжения космический аппарат должен иметь вторую космическую скорость. Значение второй космической скорости можно определить, рассчитав работу, которую необходимо совершить против сил земного притяжения для удаления космического аппарата с поверхности Земли в бесконечность.

Элементарная работа, совершаемая против сил тяготения при удалении взаимодействующих масс M и m на расстояние dr, равна

. (7.84)

Работа, совершаемая против сил тяготения при удалении массы m с поверхности Земли на бесконечность, определяется соотношением:

. (7.85)

Эта работа должна равняться кинетической энергии, сообщаемой космическому аппарату, для придания ему скорости v₂:

, т.е. ,

откуда

, а . (7.86)

Если сравнить (7.82) с (7.86), то можно утверждать, что вторая космическая скорость больше первой в корень из 2-х раз. Численное значение второй космической скорости v₂  11,210³ м/с.

Известно, что впервые в мире первая и вторая космические скорости достигнуты ракетами, созданными в СССР. Так, первую космическую скорость имел выведенный на орбиту 4 октября 1957 г. искусственный спутник Земли, который имел форму шара диаметром 580 мм, массой 83,6 кг.

2 января 1959 г. был дан старт космической ракете, которая, превысив значение второй космической скорости, прошла вблизи Луны и стала первой искусственной планетой Солнечной системы.