Второй характеристикой силового потенциального поля является потенциал.

Потенциалом поля тяготения называют скалярную физическую величину, равную потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля.

Следовательно, для нахождения формулы потенциала необходимо найти формулу потенциальной энергии двух тяготеющих масс.

Известно, что изменение потенциальной энергии системы (двух тяготеющих масс) равно работе консервативных сил, взятой с обратным знаком:

dW_p = - dA. (7.57)

. (7.58)

. (7.59)

Так как начальное и конечное состояния тяготеющих масс было выбрано произвольно, то можно утверждать, что в общем случае

. (7.60)

Таким образом, потенциальная энергия тяготеющих масс отрицательна и увеличивается с увеличением r. При r, W_p0.

Потенциал поля тяготения

, (7.61)

т.е. потенциал поля тяготения тоже с увеличением расстояния увеличивается и при r равен нулю.

Так как одна и та же точка поля тяготения одновременно характеризуется напряженностью и потенциалом, то между ними должна существовать связь, вытекающая из понятий напряженности и потенциала. Очевидно, что

. (7.62)

В общем случае связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения выражается соотношением

g = - grad. (7.63)

Знак “ – “означает, что напряженность поля тяготения направлена в сторону уменьшения потенциала и обусловливает все трудности запуска космических аппаратов с поверхности Земли. Он показывает, что тело находится в энергетическом плену у Земли. Чтобы оно покинуло её, необходимо совершить работу, равную изменению потенциальной энергии системы “тело-Земля”. Говорят, например, что тело находится в «потенциальной яме», глубина которой равна W_p. Чтобы покинуть эту «потенциальную яму», тело должно преодолеть потенциальный барьер, высотa которого равна глубине «потенциальной ямы».

Представление о «потенциальной яме» относится не только к полю тяготения. Любые, связанные между собой тела находятся в «потенциальных ямах» друг друга. Например, молекулы жидкости находятся в «потенциальной яме», поэтому для их выхода за пределы свободной поверхности необходимо затратить определенную энергию, т.е. совершить работу выхода - работу на испарение. Свободные электроны в металлах находятся в «потенциальной яме». Для выхода из металла им необходимо совершить работу выхода.

7.6.4. Потенциальная энергия материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле

В качестве частного примера рассмотрим потенциальную энергию системы «тело - Земля», когда тело находится на некоторой высоте h от поверхности Земли. Известно, что потенциальная энергия двух тяготеющих масс .

В рассматриваемом случае r = R + h, тогда

. (7.64)

При Rh . Имеем

, (7.65)

где - ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли;

- потенциальная энергия системы «тело – Земля», если тело находится на поверхности Земли.

Изменение потенциальной энергии в том случае, когда тело поднимается на некоторую высоту h над поверхностью Земли, будет равно

. (7.66)

Таким образом, мы получили формулу, которая ранее постулировалась.

Докажем, что поле сил тяжести является потенциальным. Сила, действующая на тело в любой точке траектории, имеет одинаковую величину и направление – вниз по вертикали (рис.7.4).

Поэтому работа

. (7.67)

Рис.7.4

Это выражение, очевидно, не зависит от пути, откуда следует, что поле сил тяжести потенциально.

Поле центральных сил (т.е. сил, величина которых зависит только от расстояния до некоторого центра, а направление проходит через этот центр) также потенциально. В этом мы убедимся, рассматривая, например, работу кулоновских сил.