7.4. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе

При действии на движущееся тело постоянной по величине и совпадающей по направлению с направлением движения силы, тело либо приобретает определенный запас энергии, либо совершает работу.

Физическая величина, характеризующая способность движущегося тела или системы совершать работу при торможении до полной остановки, называется кинетической энергией. Кинетическая энергия - энергия, которой обладает движущееся тело.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) этой системы:

W_k = W_ki, (7.25)

где W_ki - кинетическая энергия i-го тела системы.

Изменение кинетической энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое происходит под действием приложенных к системе внешних и внутренних сил и равно сумме работ этих сил:

W_k = W_k2 – W_k1 = A_iвнут + A_iвн. (7.26)

Уравнение (7.26) выражает теорему об изменении кинетической энергии, с помощью которой решаются многие задачи динамики.

Изменение кинетической энергии системы равно сумме изменений кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) системы:

; . (7.27)

Для вывода формулы кинетической энергии системы необходимо рассчитать работу, которая может быть совершена системой при ее торможении до полной остановки. Предположим, что система (твердое тело) состоит из n тел (материальных точек). При поступательном движении твердого тела со скоростью v каждая его материальная точка (элемент тела) движется с такой же скоростью.

Элементарная работа сил трения при торможении, действующих на i-ю материальную точку, равна элементарному изменению кинетической энергии этой точки:

.(7.28)

Изменение кинетической энергии материальной точки тела при переходе из одного состояния в другое имеет следующий вид:

. . (7.29)

Так как материальная точка и состояние тела были выбраны произвольно, то кинетическая энергия i-й материальной точки до начала торможения была следующей:

. (7.30)

Рис.7.2

Это справедливо и в том случае, когда тело перемещается из точки в точку(рис.7.2). При этом совершается работапод действием силы. Указанную работу можно представить следующим образом:

.

(7.31)

Кинетическая энергия тела массой m равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек (частей) этого тела. В рассматриваемом случае

, (7.32)

где m = m_i - масса тела (системы).

Из формулы (7.32) видно, что кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной, зависит только от массы движущихся тел и их скорости, но не зависит от того, каким образом данное тело достигло данной скорости.

Таким образом, кинетическая энергия системы (тела) является функцией состояния ее движения. Так как p = mv, то

. (7.33)

Соотношение (7.33) устанавливает связь между кинетической энергией тела (системы) и его импульсом.

При скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме, кинетическая энергия материальной точки

, (7.34)

где m₀ - масса покоящейся материальной точки (масса покоя);

с - скорость распространения света в вакууме;

m₀ c² = E₀ - энергия покоя материальной точки.

При малых скоростях (v<<c) соотношение (7.34) переходит в формулу (7.30). Так как dW_k = dA, то при:

1) dA > 0 - работа совершается над системой – dW_k > 0 - кинетическая энергия системы возрастает;

2) dA < 0 - работа совершается системой – dW_k < 0 - кинетическая энергия системы убывает;

3) dA = 0 - если система не совершает работу или работа не совершается над системой – dW_k = 0 - кинетическая энергия системы не изменяется.