4. Формулируют рекомендации по оптимальным грузопотокам.

Рассмотрим пример решения такой задачи ручным счетом с использованием метода дифференциальных рент.

Предположим, что с трех разрабатываемых лесосек , имеющих запасы, соответственно,,итребуется вывезти на нижние приречные складысоответственно,идревесины. Необходимо составить такой план перевозок древесины (грузопотоков), при котором общие затраты на транспортировку были бы минимальными, если известно, что себестоимости перевозки древесины с- й лесосеки на-й нижний склад соответственно равны:

Приведенные значения себестоимостей вывозки древесины с -й лесосеки на-й нижний склад могут быть получены расчетным путем с учетом конкретных условий предприятия.

Задача решается за несколько этапов, каждый из которых называют итерацией, а решение ее методом дифференциальных рент удобнее всего вести в виде таблицы (табл. 1)

В левом верхнем углу клеток первых столбцов таблицы указаны себестоимости перевозок 1 м³древесины с лесосекна складыи в рамки обведены наименьшие значения себестоимости в столбцах. Первая итерация заключается в распределении объема вывозки древесины с каждой лесосеки по трем складам с минимальной себестоимостью перевозок так, чтобы каждый склад мог бы получить древесину, если бы запас древесины на лесосеках не был бы ограничен.

При этом, если в каком-либо столбце окажется несколько одинаковых (наименьших) значений себестоимости перевозок, то отмечается только одна, причем безразлично какая. Далее составляется схема распределения грузопотоков в соответствии с минимальными затратами.

Распределение грузопотоков начинают с первого столбца, причем, в клетку записывается поставка, отвечающая условию

Если к моменту записи очередной поставки исчерпаны запасы на соответствующей лесосеке или полностью заполнена емкость соответствующего склада, то в клетку записывают нулевую поставку

В нашем примере в клетку записываем поставку, в клеткупоставку. Так как запас древесины на первой лесосеке оказался исчерпанным, в клеткузаписывается поставка.

Полученная схема распределения проверяется на допустимость, т.е.устанавливают, исчерпаны ли запасы древесины на лесосеках и заполнены ли емкости складов. В рассматриваемом случае с лесосеки вся древесина будет вывезенной, с лесосеки. будет вывезено лишьиз, а на лесосеке вся древесина окажется невывезенной. Вместе с этим, при

Таблица	Оценка запасов древесины на лесосеках		4а	17													0
			3а	16													0
			2а	15													0
			1а	14													0
	Распределение по складам емкостью, м3		4	13		29				29				32
			3	12		28				28				32			4
			2	11		24				24				32			8
			1	10		15				24				32			9
			4	9		34				23				22
			3	8		33				22				22			–
			2	7		29				18				22			4
			1	6		20				18				22			–
			4	5		26				35				26			–
			3	4		25				34				26			1
			2	3		21				30				26			5
			1	2		12				30				26			14
	Лесосеки и запасы древесины на них				1
																		Пром. ренты

предложенном распределении грузопотоков будет заполнена только вместимость склада частично (2500 м³из 3000 м³) емкость склада.

На склад древесина не поступит вообще. Поэтому предложенное распределение грузопотоков не является допустимым, т.е. не является решением задачи. Для дальнейшей оптимизации необходимо произвести оценку объемов заготовки древесины на каждой лесосеке в следующем порядке.

Если весь запас древесины полностью исчерпан (вывезен), а емкость связанных с ним складов с минимальной себестоимостью не заполнена полностью, то такой «поставщик» считается недостаточным и оценкой его служит недостаток, равный величине недопоставленной на склады древесины со знаком минус. И, наоборот, если запасы древесины распределены по складам не полностью, то «поставщик» считается избыточным. Оценкой его служит нераспределенная часть древесины со знаком плюс.

В тех случаях, когда в какой-либо строке нет ни одного значения себестоимости, обведенного в квадрат, то оценкой такого избыточного «поставщика» служит число, равное объему древесины, заготавливаемого на нем.

Строчку матрицы с избыточным «поставщиком» называют положительной, а с недостаточным - отрицательной. При правильной оценке всех «поставщиков» алгебраическая сумма всех оценок должна быть равна нулю.

В связи с тем, что наиболее «дешевой» древесины с лесосеки недостаточно для заполнения емкостей складовиприходится пересматривать распределение грузопотоков с лесосеки. При этом сначала будет рассматриваться древесина, себестоимость вывозки которой в наименьшей степени отличается от минимальной.

Для этого в приведенной таблице себестоимости вывозки необходимо определить разность между наименьшей себестоимостью в одной из положительных строк с минимальной себестоимостью, заключенной в квадрат в этом столбце. Полученные разности записывают в нижней строке таблицы. В тех столбцах, где есть хотя бы одна себестоимость, обведенная в квадрат в одной из положительных строк, такая разность не определяется. Наименьшую из вычисленных разностей принято называть промежуточной рентой. В таблице ее следует отметить заключением в кружок. В рассматриваемом примере это 9 в третьем столбце.

Вторая итерация (приближение) заключается в составлении нового распределения и обработке данных, помещенных в табл.1 для этого распределения. При этом себестоимости поставок по отрицательным строкам увеличиваются на величину исчисленной ранее промежуточной дифференциальной ренты, а себестоимости вывозки по положительным строкам переписываются без изменения.

Последовательность выполнения второй и последующих итераций остается общей - подобной первой итерации.

Сначала отмечают (обводят в квадрат) все минимальные себестоимости «поставок» по столбцам, считая и повторяющиеся по величине. Затем снова по минимальным для каждого склада затратам, производится перераспределение «поставок». Так как количество клеток таблицы с минимальными себестоимостями при второй и последующих итерациях становится больше числа столбцов, необходим особый порядок в составлении схемы распределения грузопотоков.

Прежде всего, рассматриваются все столбцы, а затем строки (или наоборот). В первую очередь заполняют «поставками» клетки тех столбцов (или строк), в которых имеется лишь одна минимальная себестоимость, а затем все остальные. Далее производится оценка «поставщиков» также, как и в предыдущей итерации.

Знак при нулевой оценке «поставщика» устанавливается путем анализа связей: если нулевая строка связана по столбцу минимальной себестоимостью с отрицательной строкой, то она считается отрицательной, и наоборот. В нашем случае строка является отрицательной, т.к. она по столбцусвязана минимальными себестоимостями со строкой. Бывают случаи, когда строка с нулевой оценкой «поставщика» связана минимальными себестоимостями одновременно с отрицательной и положительной строками. Тогда для определения знака строки с нулевой оценкой необходимо «поставку», соответствующую этой строке, несколько увеличить (например, на единицу) и мысленно заново распределить «поставки». Если при этом суммарный объем всех «поставок» в таблице в целом не изменится, «поставщик» считается избыточным, а строка - положительной. Если же объем «поставок» увеличится, то «поставщик» считается недостаточным, а строка - отрицательной.

Итерации продолжают до тех пор, пока не получат такое распределение, при котором оценки всех поставщиков равны нулю, т.е. нераспределенный остаток отсутствует.

Полученный оптимальный план распределения грузопотоков представлен в виде матрицы:

1800	0	700
0	0	2800
1200	2000	0

а суммарные минимальные затраты на перевозки будут равны

Более подробно с решением транспортных задач методом дифференциальных рент (см Коробов П.Н. Математические методы планирования и управления в лесоперерабатывающей промышленности, М.: Лесная промышленность , 1974)

Метод дифференциальных рент получил наиболее широкое распространение, т.к. он оказывается весьма удобным для выполнения расчетов с помощью ЭВМ.