3. Методическое и материально-техническое обеспечение

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы — по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, включающие наименование операции) - по числу студентов.

Вначале студент изучает методы планирования полного факторного эксперимента применительно к рассматриваемой технологическим операциям, осваивает принципы составления матрицы планирования полного факторного эксперимента, проводить расчет коэффициентов регрессии, использовать статистические критерии для оценки однородности в работе.

В работе отразить:

1. Анализ характеристик предмета труда для одной из операций лесопромышленного процесса (в соответствии с индивидуальным заданием).

2. Результаты расчета числовых характеристик. Они должны быть оформлены в виде заполненной таблицы или распечатки.

Анализ результатов, вытекающие из него выводы. Анализ сводится к выработке суждений о мере изменчивости, разбросе случайных величин и их влияния на обоснование выполнения технологии заданной операции и выбора типа и марки технологического оборудования.

Лабораторная работа № 3 Определение корреляционной зависимости между продолжительностью работы впм и объемом обрабатывающего дерева

( 2 часа)

1. Цель работы:по данным производственных измерений оценить тесноту связей между цикловыми временем работы и объемом предмета труда, а также установить эмпирическую зависимость между ними методом наименьших квадратов.

2. Содержание работы

2.1 Определить вид предмета труда в заданной операции процесса лесозаготовок и обосновать основные его характеристики, определяющие продолжительность его обработки.

2.2 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты числовых характеристик случайных величин, представляющих собой выборку значений одной из основных характеристик предмета труда заданной операции.

2.3. Уяснить физическую сущность результатов, построить график зависимости между цикловыми временем работы и объемом предмета труда. Установить эмпирическую зависимость между ними методом наименьших квадратов.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы.

Одна из основных задач обработки экспериментальных данных заключается в установлении зависимости между значением параметра у и воздействующими на него факторами х₁х_2. В общем виде такая зависимость записывается как

где m - общее количество воздействующих факторов. При однофакторном эксперименте имеем у =f(x).

Установление зависимости между эмпирическими значениями параметра у и воздействующим фактором х выполняется на основе корреляционного анализа. Две случайные величины х и у называются корреляционно связанными, если математическое ожидание одной из них меняется при изменении другой. Теснота связи между этими величинами характеризуется коэффициентом корреляции r_ху. Если r_ху = 0, то говорят, что величины и у не коррелируют. Если r_xy= 1, то между ними имеется прямолинейная функциональная зависимость.

Существует и другой метод оценки тесноты связи между опытными данными - это построение доверительной зоны для выявленной эмпирической зависимости. Коэффициент корреляции между величинами х и уопределяется по формуле:

где n - количество опытов;

х_iиy_i- значения величин вi-mопыте;

х и у - средние значения (математические ожидания) величин х и у;

δ_хиδ_у- средние квадратические отклонения этих величин.

Если просматривается взаимосвязь между величинами, то следующим этапом становится выявление уравнения, описывающего эту взаимосвязь. Это уравнение называют эмпирической зависимостью, или уравнением связи. Общепринятым при решении подобных задач является метод наименьших квадратов, при котором требования наилучшего согласования функции (кривой в общем случае) у = f(x) и экспериментальных точек сводятся к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от эмпирической зависимости обращалась в минимум.

Для линейной зависимости вида необходимо составить ему уравнений:

а для квадратичной - систему вида

где a,b,с - коэффициенты эмпирической зависимости, определяемые результате решения системы данных уравнений.

Для выявления зависимости рекомендуется расположить в таблице значения ув порядке возрастания значений аргументов хили изобразить значения в координатной сетке. Далее необходимо выбрать тип уравнения связи между функцией и аргументом. В качестве такого уравнения связи, принимают прямую линию, параболу, гиперболу, степенную функцию или многочлен. Выбор той или иной теоретической зависимости производят, учитывая физическую сущность явления, диапазон и характер изменения величин. Например, следует выбрать уравнение связи для зависимости времени перемещения автопогрузчика tот расстояния его перемещенияLна площадке лесного склада.

Экспериментальные данные будут, естественно, показывать возрастание времени tс увеличением расстоянияL. Если подходить чисто математически, то теоретическим уравнением могут быть прямая линияпарабола типа и др. Здесь и далее а,b,c -коэффициенты, которые после выбора уравнения связи рассчитываются методом наименьших квадратов. Однако оценка этих зависимостей показывает, что они далеко не отвечают реальному процессу: при L=0 t = а,хотя в этом случае время должно быть, разумеется, равным нулю. При малых значенияхLсредняя скорость перемещения автопогрузчика будет меньше, чем при больших расстояниях. Это связано с тем, что при большом расстоянии снижается относительное влияние времени на разгон и замедление хода автопогрузчика. Поэтому уравнение прямой линии не подходит и по этой причине.

Достовернее будет отражать реальный процесс - зависимость t = aL^b при L=0 t= 0, а с ростом L время t возрастает по кривой линии; естественно, что а>О и Ь>0.

После выбора теоретического уравнения связи необходимо определить значения входящих в него коэффициентов. Их значения, как отмечалось, рас­считывают методом наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в том, чтобы выявить такие значения коэффициентов, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений функции от устанавливаемой эмпирической зависимости - уравнение связи с численными значениями коэффициентов - была бы минимальной. В математической статистике приводятся многочисленные примеры расчета этих коэффициентов для различных типов уравнений связи. В настоящее время такие расчеты выполняют, как правило, на ЭВМ, для чего разработаны стандартные программы.

Следует оговорить некоторые особенности определения эмпирических зависимостей. В ряде случаев для последующего упрощения расчетов используют уравнения связи типа прямой линии или разделяют всю зону зависимости у = f(x) на отдельные характерные участки, рассматривая зависимости на них как прямолинейные. Так поступают, если предполагают, при последующем моделировании процесса применить линейное программирование и имеется уверенность, что отход от физической сущности взаимосвязи незначительно скажется на точности конечных результатов.

Если физическую сущность явления установить трудно, то принимают несколько типов уравнений связи и методом наименьших квадратов избирают то, которое дает минимальное значение суммы квадратов отклонений. Любая эмпирическая, зависимость действительна при конкретных ограничениях: определять значения исследуемого параметра по ней можно только в той зоне аргументов, в которой проводились экспериментальные измерения. Выход за эти зоны (экстраполяция эмпирической зависимости) имеет возрастающий риск неточности результата с увеличением удаления от границ, установленной экспериментом зоны.

Пример определения коэффициента корреляции и корреляционной зависимости. На лесосеке были проведены наблюдения за работой валочно-пакетирующей машины. При этом определялись следующие пары величин: объем спиливаемого дерева q_x и время цикла валки-пакетирования t_ц одного дерева. Результаты наблюдений сведены в табл.1.

Вычисления по ранее приведенным формулам дают следующее:

средние значения

;

а дисперсия

;

;

средние квадратические отклонения определятся:

;

Таблица1

Экспериментальные данные

Номер наблю­дений	qхл, м3	tц,c	Номер наблю­дений	qхл, м3	tц,c	Номер наблю­дений	qхл, м3	tц,c
1	0,29	18	8	0,44	31	15	0,53	34
2	0,43	24	9	0,36	26	16	0,66	55
3	0,55	27	10	0,52	37	17	0,64	38
4	0,58	38	11	0,33	22	18	0,29	25
5	0,64	45	12	0,41	38	19	0,61	49
6	0,74	46	13	0,61	42	20	0,71	40
7	0,53	41	14	0,49	31	21	0,71	48

Коэффициент корреляции по формуле (2) равен:

Его значение свидетельствует о достаточно тесной связи между объемом хлыста и временем цикла.

Таблица 2

Результаты вычислений

n	qхл	qхл	tц	qхл tц	n	qхл	qхл	tц	qхл tц
1	0,29	0,0841	18	5,22	12	0,41	0,1681	38	15,58
2	0,43	0,1849	24	10,32	13	0,61	0,3721	42	25,62
3	0,55	0,3025	27	14,85	14	0,49	ОД 401	31	15,19
4	0,58	0,3364	38	22,04	15	0,53	0,2809	34	18,02
5	0,64	0.4096	45	28,80	16	0,66	0,4356	55	36,30
6	0,74	0,5476	46	34,04	17	0,64	0,4096	38	24,32
7	0,53	0,2809	41	21,73	18	0,29	0,0841	25	7.25
8	0,44	0,1936	31	13,64	19	0,61	0,3721	49-	29,89
9	0,36	0,1296	26	9,36	20	0,71	0.5041	40	28,40
10	0,52	0,2704	37	19,24	21	0,71	0,5041	48	34,08
11	0,33	0,1089	22	7,26	∑	11,07	6,2193	755	421,15

На примере экспериментальных данных, приведенных в табл. 1 применим метод наименьших квадратов для выявления линейной зависимости вида , для этого произведем ряд вычислений, сведенных в таблицу 2

В соответствии с формулой (3) имеем:

21a+11,07b = 755;

11,07а + 6,21b = 421,15.

Решив эту систему уравнений, получаем: а = 4,14; 6 = 60,3.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид:

Построив график уравнения (5), можно убедиться, что прямая проходит через поле точек, разделяя его примерно пополам.