3.4.5. Применение законов сохранения к расчету удара двух тел
Рассмотрим применение законов сохранения механической энергии и импульса к расчету удара двух тел. Ударом называется столкновение тел, при котором за весьма малый промежуток времени происходит значительное изменение скорости тел. Различают два основных вида удара: абсолютно неупругий и абсолютно упругий. В процессе удара возникают кратковременные ударные силы взаимодействия между сталкивающимися телами, причем модули этих сил во много раз превосходят модули всех остальных сил, действующих на тела. Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой и применять к ней законы сохранения.
а) Абсолютно неупругий удар.
Это удар, после которого оба тела движутся как одно целое (например, попадание пули в тележку с песком, в котором пуля застревает). При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся телах (их пластические деформации, трение и пр.), в результате которых кинетическая энергия системы частично преобразуется в ее внутреннюю энергию (тепловая энергия хаотического движения молекул, из которых состоят тела). Учесть потери энергии в явном виде здесь не удается, поэтому закон сохранения энергии здесь применить нельзя.
Рис.
3.19
и
(рис. 3.19), направленные вдоль прямой,
соединяющей их центры масс. После удара
первое тело застревает во втором, и
образуется составное тело с массой (
),
которое движется с некоторой скоростью
.
Модуль и направление этой скорости
требуется определить.
Так как движение происходит вдоль одной прямой, то нужно использовать закон сохранения составляющей импульса на ось X:
, (3.103)
Из (3.103) следует, что импульс системы тел до удара и после него есть величина постоянная. Это означает, что
,
(3.104)
откуда
(3.105)
При
указанных на рис. 3.19 направлениях
скоростей
и
последнее выражение может быть записано
в скалярном виде:
(3.106)
б) Абсолютно упругий удар.
Это удар, при котором механическая энергия системы не изменяется. В процессе этого удара происходит упругая деформация взаимодействующих тел, но после окончания удара форма тел восстанавливается, то есть потерь энергии на остаточные деформации нет. Поэтому при расчете этого вида удара применяются законы сохранения импульса и механической энергии.
Пусть
два шара с массами m1
и
m2
движутся
до столкновения со скоростями
и
(рис. 3.20), направленными вдоль одной осиX.
После удара тела начинают двигаться со
скоростями
и
,соответственно.
Нужно определить эти скорости.
Перед ударом и после его завершения тела не деформированы, то есть потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем
(3.107)
По закону сохранения составляющей импульса на
ось X
.
(3.108)
Рис. 3.20
.
(3.109)
Совместное решение уравнений (3.107) и (3.109) дает
; 
.
(3.110)