3.3.4. Потенциальная энергия

Рассмотрим случай, когда на систему материальных точек действуют только консервативные силы (внешние консервативные силы со стороны других тел и внутренние консервативные силы взаимодействия между материальными точками).

Известно, что работа, совершаемая консервативными силами при изменении конфигурации системы, т.е. расположения всех ее материальных точек в выбранной системе отсчета, не зависят от того, как было осуществлено изменение. Работа полностью определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Иначе говоря, ее можно выразить в виде

, (3.77)

где - некоторая функция состояния системы, зависящая только от координат всех материальных точек системы. Эту функцию называют потенциальной энергией системы.

Потенциальной энергией механической системы называется энергия, зависящая только от ее конфигурации, то есть от взаимного расположения всех материальных точек системы и от их положения во внешнем потенциальном (консервативном) поле.

Под потенциальным полем понимают область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действуют консервативные силы (например, гравитационное поле Земли).

Рис. 3.16

Из соотношения (3.77) следует, что работа консервативных сил, действующих на механическую систему, равна убыли потенциальной энергии этой системы.

Соответственно работа консервативных сил при малом (элементарном) изменении конфигурации системы равна бесконечно малому изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:

. (3.78)

В качестве примеров приведем известные из школьного курса физики выражения для потенциальной энергии тела, поднятого над поверхностью Земли, и упруго деформированного тела.

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h над поверхностью Земли (рис. 3.16), равна

, (3.79)

где т - масса тела, - ускорение свободного падения.

Рис. 3.17

Следует заметить, что выражение (3.79) справедливо для случая, когда потенциальная энергия тела на поверхности Земли принимается равной нулю.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела, например сжатого или растянутого силой упругого стержня (рис. 3.17), определяется выражением

, (3.80)

где x - деформация тела;

k - коэффициент, характеризующий упругие свойства тела.

3.3.5. Полная механическая энергия

Выше было показано (см. 3.3.3.), что приращение кинетической энергии механической системы равно работе, которую совершают силы, действующие на все материальные точки системы. Разделив все силы на внешние и внутренние, можно представить выражение для изменения кинетической энергии механической системы как

, (3.81)

где - работы, совершаемые соответственно внешними и внутренними силами.

Напомним, что в число сил, действующих на систему, входят в общем случае консервативные, диссипативные, гироскопические и возмущающие (сторонние) силы.

Если учесть, что гироскопические силы работу не совершают, а работу консервативных (внешних и внутренних) сил согласно (3.78) можно представить как изменение потенциальной энергии системы , то выражение (3.81) можно переписать в виде

(3.82)

или

. (3.83)

Здесь - работа внешних возмущающих и диссипативных сил,- работа внутренних диссипативных сил.

Выражение (3.83) дает возможность ввести новое важное физическое понятие - полную механическую энергию системы.

Полной механической энергией системы называется энергия механического движения и взаимодействия. Механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия друг с другом и с внешними телами, то есть

, (3.84)

где - полная механическая энергия.

При конечных изменениях состояния системы выражение (3.83) преобразуется к виду

, (3.85)

где - полная механическая энергия системы в состояниях 1 и 2 соответственно.

Последнее выражение представляет собой математическую запись закона изменения полной механической энергии системы:

изменение полной механической энергии системы материальных точек равно алгебраической сумме работ внешних сил и внутренних диссипативных сил.

Действие диссипативных сил, например, сил трения, приводит к постепенному уменьшению механической энергии замкнутой системы. При этом происходит преобразование механической энергии системы в другие виды энергии (например, в энергию беспорядочного движения молекул).

Для абсолютно твердого тела (ввиду равенства нулю работы всех внутренних сил) выражение (3.85) примет вид:

, (3.86)

то есть изменение полной механической энергии твердого тела равно работе внешних сил.

Из (3.72), (3.77) и (3.85) следует, что единицей энергии, как и работы, является джоуль (Дж).