Решение уравнений динамики

В общем случае система автоматического управления описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью:

.     (7)

Для отыскания полного решения этого уравнения необходимо найти частное (или вынужденное) решение уравнения с правой частью и определить корни характеристического уравнения

,

для случая системы ТП-Д:

.

Обычно задачу полного решения ДУ упрощают – принимают (внешних воздействий нет) и ищут решение однородного уравнения в форме

.                               (8)

Для случая системы ТП-Д, (8) принимает вид:

.

При этом переходный процесс определяется только видом корней характеристического уравнения (вещественные или комплексные) и начальными значениями (,,и т.д.). Начальные значения накладываются на основании физических соображений или находятся из уравнения (7). Дифференцируя уравнение (8) по временираз и используя начальные значения, получаем- алгебраических уравнений, включающих- неизвестных постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений дает возможность определить искомые постоянные интегрирования.

Следует обратить внимание на нахождение неизвестных начальных условий после воздействия на систему единичной ступенчатой функции ,,. Если дифференциальное уравнение системы имеет вид

,

где – выходная величина;– входное воздействие, то начальные условия, имеющие место непосредственно перед приложением единичной ступенчатой функции () и начальные условия, имеющие место непосредственно после приложения единичной ступенчатой функции () отыскиваются по ниже приведённым равенствам:

Преобразование Лапласа

При анализе динамики автоматических систем наибольшее распространение в ТАУ получило преобразование Лапласа, связывающее оригинал с изображением следующими интегральными соотношениями:

В данном случае – комплексная величина, причем при,.

Изображение производной оригинала найдем по (9):

,

где – изображение самой функции. Для второй производной оригинала справедливо равенство

.

При нулевых начальных значениях , то есть операция дифференцирования оригинала заменяется умножением изображения на комплексную величину.

Для разомкнутой системы ТП-Д с передаточной функцией

,

переход к оригиналу (в -область) осуществляется с помощью таблиц преобразования Лапласа (либо с помощью ЭВМ). В первом случае передаточную функцию системы необходимо разложить на элементарные дроби.

Пусть передаточная функция системы имеет вид

,

корни знаменателя (полюсы) которой определяются из характеристического уравнения

, ().

Представленная в биномиальном виде, передаточная функция выглядит так:

,                                   (10)

где – вычеты в полюсах.

Если, (),

то изображению (10) соответствует оригинал

.

Замечание: уравнение (10) справедливо только для действительных и некратных полюсов.

Чтобы не рассчитывать вычеты в полюсах передаточной функции, существуют таблицы, связывающие оригиналы и изображения, с помощью которых можно быстро перейти от изображения к оригиналу[1].