Кол. методы МБА 2012 / 1. Статистика / Книга по стат. методам / Книга

Решение

Используя алгоритм группировки и инструменты Пакета анализа Excel «Описательная статистика» и «Гистограмма» получаем таблицу ряда распределения – рис. 4.6 и гистограмму – рис. 4.7.

Рис. 4.6.

81

Рис. 4.7.

Вид гистограммы свидетельствует о том, что эмпирическому распределению в наибольшей степени соответствует нормальный закон распределения (теоретическое распределение). Переход к теоретическому – нормальному распределению позволит далее вычислять вероятностные оценки более точно и значительно расширить круг решаемых задач.

Для того, чтобы обоснованно перейти к теоретическому распределению, необходимо подтвердить или опровергнуть гипотезу о том, что случайная величина – месячные эксплуатационные расходы имеет нормальное распределение с параметрами: математическим ожиданием μ ≈ y = 43,97 и стандартным отклонением

σ ≈ S = 5,43. В качестве математического ожидания μ и стандарт-

ного отклонения σ теоретического распределения используют выборочные оценки – «среднее» (ячейка D18) и «стандартное отклонение» (ячейка D22), вычисленные инструментом «Описательная статистика» – рис. 4.6.

Для проверки гипотезы и вычисления выборочного значения критерия согласия

82

на рабочем листе Excel удобно создать дополнительную таблицу – рис. 4.8.

Рис. 4.8.

Ячейки «Среднее» и «Станд. откл.» таблицы заполняются на основе вычислений, выполненных с помощью инструмента «Описательная статистика» из «Пакета анализа». Колонки «Карман» и «Частота» заполняются на основе вычислений, выполненных с помощью инструмента «Гистограмма» из «Пакета анализа» – рис. 4.6. Формулы для вычисления компонентов критерия согласия, а также

можно утверждать, что для отклонения нулевой гипотезы нет оснований. Следовательно, можно считать, что рассматриваемая случайная величина – месячные эксплуатационные расходы – имеет нормальное распределение с параметрами: математическим ожиданием μ ≈ y = 43,97 и стандартным отклонением

σ ≈ S = 5,43.

83

• Вероятность того, что предстоящие расходы окажутся в диапазоне 38–50 т.руб.:

P(38 тыс. руб. < расходы < 50 тыс. руб.) =

=НОРМРАСП(50;43,97;5,432;ИСТИНА) -

-НОРМРАСП(38;43,97;5,432;ИСТИНА) = 0,730645

Вычисления легко формализуются в Excel – рис. 4.10.

Рис. 4.10.

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ (ГЛОССАРИЙ)

Дискретная случайная величина – случайная величина, все возможные значениякоторой можноперечислитьили пронумеровать.

Непрерывная случайная величина – случайная величина,

все возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Закон распределения дискретной случайной величины –

соотношение, связывающее между собой ее возможные значения с соответствующими им вероятностями.

Функция распределения (интегральная функция распределения) непрерывной случайной величины – функция вида

F(yi) = P (Y < yi) – вероятность события Y < yi .

Функция плотности вероятности – f ( y) = F′( y) используемая

наряду с F(x) для задания закона распределения непрерывной случайной используют также

85

Статистика – любая функция θN = f (x1, x2 ,K, xN ) от выборочных наблюдений x1 , x2 , K, xN .

Оценка – статистика θN , используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупно-

сти θ, (θN ≈θ).

Доверительный интервал – числовой интервал (θN1 , θN 2 ) ,

который с заданной вероятностью Pдов. = γ «накрывает» истинное значение параметра θ

Уровень значимости – величина α =1 −γ , связанная с понятием доверительной вероятности или надежности. Если доверительная вероятность (надежность) Pдов. = γ, то уровень значимости α =1 − γ . Уровень значимости – это вероятность, того, что статистика попадет в критическую область – область «неправдоподобно» больших (или малых) значений. Как правило, α задается достаточно малым, таким, чтобы попадание статистики в критическую область можно было считать маловероятным (практически невозможным) событием.

Критическая область – как правило, область «неправдоподобно» больших или «неправдоподобно» малых значений случайной величины. Обычно выбирается такой, чтобы попадание статистики в критическую область можно было считать маловероятным событием.

Критическая точка – граница доверительного интервала, за пределы которого случайная величина выходит с малой вероятностью, равной α , где α задаваемый уровень значимости.

Выборочная средняя – оценка x среднего значения μ генеральной совокупности, полученная на основе выборочных данных x ≈ μ .

Выборочное стандартное отклонение – оценка S стандарт-

ного отклонения σ генеральной совокупности – S ≈σ , полученная на основе выборочных данных.

Статистическая гипотеза – любое предположение относительно генеральной совокупности.

Нулевая гипотеза H0 – гипотеза, которая утверждает, что различие между сравниваемыми величинами отсутствует, а наблю-

86

даемые отличия объясняются случайными отклонениями выборочных данных.

Альтернативная (конкурирующая) гипотеза H1 – гипотеза,

которая противоречит нулевой гипотезе.

Статистический критерий – специально подобранная случайная величина, применяемая для проверки нулевой гипотезы – выборочная статистика, точное или приближенное распределение которой, известно.

Критерий согласия – критерий, который используют для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения случайной величины. С его помощью выясняют, достаточно ли хорошо опытные данные согласуются с предполагаемым законом распределения, для того, чтобы его можно было использовать далее для описания случайной величины.

Число степеней свободы – определяется как общее число наблюдений N минус число уравнений m, связывающих эти наблю-

дения: n = N-m-1.

87

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ И РЕШЕНИЙ

4.1. Исследование рынка офисных помещений

Риэлтерская компания «PQ-инвест», занимающаяся строительством, ремонтом и сдачей в аренду офисных помещений, решила провести маркетинговое исследование с целью выявления наиболее востребованных (с точки зрения стоимости арендной платы) типов офисов. Для этого менеджер компании по маркетингу провел опрос руководителей 120 случайно выбранных коммерческих фирм, расположенных в районе. Результаты он свел в таблицу, в которой зафиксировал ответы на вопрос о том какую максимальную арендную плату (в долларах/ кв.м. в год) они считают приемлемой для своих фирм и откажутся от аренды офисов в данном районе в случае ее превышения.

Вопросы

yКакую полезную информацию можно извлечь из собранной статистики?

yНа какой сегмент (долю) рынка можно рассчитывать, если предлагать офисы со стоимостью арендной платы, не превышающей 1000 долларов / кв.м.?

yИмеет ли смысл уделять внимание подготовке и предложению офисных помещений со стоимостью аренды превышающей 1200 долларов / кв.м.?

Максимальная арендная плата, приемлемая для арендаторов (долларов/ кв.м. в год)

88

Решение

Распределение офисов по величине ставки арендной платы, приемлемой для арендаторов

Так как, полученное распределение можно считать нормальным (проверка по критерию согласия приведена в таблице ниже), то

y Если предлагать офисы со стоимостью арендной платы, не превышающей 1000 долларов за кв.м, то

89

«Доля рынка (S<1000)" =

= НОРМРАСП(1000;868;184,764;ИСТИНА)=0,762 ¾ (~76%)

(вероятность того, что случайная величина – ставка, которая будет приемлема для арендаторов – окажется не выше 1000 долларов за кв.м.)

y Смысла уделять внимание подготовке и предложению офисных помещений со стоимостью аренды превышающей 1200 долларов/кв.м. нет, т.к. доля рынка арендаторов, готовых платить более 1200 долл. за кв.м.:

«Доля рынка (S>1200)» =

= 1- НОРМРАСП(1200;868;184,764;ИСТИНА)=0,036 ¾ ~ 4%.

Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения – нормальному (на основе критерия согласия χ2)

Гипотеза Hо: "распределение нормально" (гипотеза не может быть отвергнута с уровнем значимости a =1 – Pдовер.)

Гипотеза H1: распределение отличается от нормального

90