Кол. методы МБА 2012 / 1. Статистика / Книга по стат. методам / Книга

Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонения в сжатой форме отражают наиболее существенные особенности каждого конкретного распределения, поэтому их называют числовыми характеристиками случайной величины. Многие задачи анализа можно решать, оперируя только числовыми характеристиками случайных величин без рассмотрения законов распределения.

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ (ГЛОССАРИЙ)

Случайная величина – величина, относительно которой заранее нельзя сказать, какое в точности значение она примет.

Числовые характеристики случайной величины – характе-

ристики, которые в сжатой форме отражают наиболее существенные особенности случайной величины и ее закона распределения. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонения случайной величины и некоторые другие.

Средняя арифметическая – числовая характеристика случайной величины, используемая в качестве ее «типичного» значения. Вычисляется сложением (нахождением суммы) всех значений наблюдаемого количественного признака и делением полученной суммы на общее число наблюдений.

Выборочная средняя – оценка среднего значения генеральной совокупности, полученная на основе выборочных данных.

«Описательная статистика» – инструмент надстройки «Па-

кет анализа» в Excel, применяемый для обработки выборочных данных и вычисления числовых характеристик выборки.

Медиана – такое значение исследуемой величины, слева и справа от которого находится одинаковое число упорядоченных по возрастанию или убыванию выборочных данных.

Мода (Mo) – значение исследуемой величины, чаще всего, встречающееся в наборе данных (выборке).

Дисперсия – «измеритель» степени разброса значений случайной величины относительного среднего значения (математиче-

ского ожидания). Обозначается символом D или σ 2 = D .

Стандартное отклонение – «измеритель» степени разброса значений случайной величины относительного среднего (матема-

тического ожидания). Корень квадратный из дисперсии σ = D .

71

4.ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ИИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТОВ

ИАНАЛИЗА

4.1. Введение

Как уже отмечалось в п.3, многие экономические показатели можно отнести к разряду случайных величин, т.е. таких, относительно которых заранее нельзя сказать, какое в точности значение они примут. Наиболее полно случайную величину описывает закон распределения, показывающий, какие значения этой величины следует ожидать чаще (с большей вероятностью), а какие реже (с меньшей вероятностью). Первичное представление о законе распределения исследуемого показателя дает гистограмма, полученная на основе обработки статистических данных методом группировки (п.2). Она сама по себе уже является полезным источником информации. Однако, если по эмпирическому закону распределения (гистограмме) выбрать соответствующий ему теоретический закон распределения, из числа тех, которые хорошо изучены и имеют аналитическое описание, то круг задач, которые можно решать на их основе существенно расширяется. В этом случае появляется возможность проведения более глубоких исследований и получения более обоснованных выводов об изучаемом экономическом процессе.

4.2 Понятие о законах распределения случайных величин

Случайные величины подразделяют на дискретные, когда все возможные значения величины можно перечислить или пронумеровать и непрерывные, когда возможные значения случайной величины непрерывно заполняют некоторый промежуток.

72

Законом (рядом) распределения дискретной, случайной ве-

личины называют всякое соотношение, связывающее между собой ее возможные значения с соответствующими им вероятностями.

Если Y – дискретная случайная величина, все значения кото-

рой можно перечислить (Y принимает только одно из N возможных значений y1 , y2 , ..., yN ) и известны вероятности, с которыми она

принимает соответствующие значения, то закон ее распределения можно представить таблицей (рядом распределения) – табл. 4.1.

Причем, для ряда распределения должно выполняться усло-

n

вие ∑Pi =1.

i =1

Типичными примерами дискретных случайных величин являются число покупателей или посетителей магазина или ресторана, число проданных единиц товара, число вышедших из строя бытовых приборов, предъявленных на гарантийный ремонт и т.д. Дискретная случайная величина полностью определяется своим законом (рядом) распределения.

Для получения закона распределения исходные данные группируют по интервалам и составляют частотный ряд. В результате получают эмпирический аналог закона распределения. Оценками вероятностей служат относительные частоты (доли), а в качестве yi используют, как правило, значение середины интервала.

Наряду с дискретными случайными величинами, большое число показателей в реальной экономике носит непрерывный характер – сроки службы объекта, время обслуживания клиента, вес груза или обрабатываемой детали и т.д. Для непрерывной случайной величины записать таблицу ряда распределения невозможно, т.к. число ее значений на любом числовом промежутке бесконечно в силу непрерывности. Поэтому для задания закона распределения таких величин используют не вероятность события Y = yi , а вероятность события Y < yi , для чего вводят специальную

функцию распределения (интегральную функцию распределе-

ния) вида

F(yi) = P (Y < yi) .

73

Наряду с F(x), для задания закона распределения непрерывной случайной величины, используют также функцию плотности вероятности, обозначаемую как f(y).

Обе функции связаны между собой соотношением

f ( y) = F′( y) .

Например, для нормально распределенных случайных величин графики функции распределения и функции плотности вероятности выглядят следующим образом – Рис. 4.1.

Вероятность того, что случайная величина с известной функцией плотности вероятности f(y) заключена в интервале (a,b) вычисляется по формуле

P(a < y < b) = ∫b f ( y)dy = F(b) − F(a)

a

Для наиболее распространенных законов распределения функции f(y) и F(y) получены в аналитическом либо табличном виде и хорошо изучены. Для определения их конкретных числовых значений и проведения расчетов существуют специальные таблицы, а в Excel предусмотрены стандартные функции (см. Приложение 1).

Случайная величина полностью определяется заданием либо функции распределения, либо функции плотности вероятности.

При обработке статистики с целью получения закона распределения, исходные данные группируют по интервалам и в резуль-

74

тате получают эмпирический аналог закона распределения так, как это показано в Главе 2.

Гистограмма эмпирического распределения является основой для выбора соответствующего теоретического закона с определенной функцией плотности вероятности f(y). Переход к теоретическому распределению позволяет использовать аналитические формулы и соотношения для последующего количественного анализа и получения вероятностно обоснованных оценок. В практической статистике такой прием используют достаточно широко.

В каждом конкретном случае необходимо проверять соответствие эмпирического закона распределения выбранному теоретическому закону распределения. Для этого разработаны специальные процедуры и критерии (Приложения 2, 3).

4.3.Эмпирические законы распределения

иих содержательный смысл

Гистограммы являются удобным инструментом для получения дополнительной информации об исследуемом показателе, поскольку наглядно иллюстрируют, какие из его значений встречаются чаще, а какие реже.

Пример 4.1. Пусть имеется некоторая выборка – дневные эксплуатационные издержки производства за полугодие (таблица 4.2).

Таблица 4.2.

Эксплуатационные производственные издержки (у.д.е.)

75

Если обработать этот статистический материал методом группировки, то будет получена гистограмма, показанная на рис.4.2, которую можно рассматривать как эмпирическую (построенную на основе выборочных данных) оценку закона распределения случайной величины Y – размера эксплуатационных затрат предприятия.

Рис.4.2.

Эмпирическое распределение может напрямую использоваться для получения различных оценок. Так, например, по результатам наблюдений можно сделать вывод о том, что примерно в 18% случаев эксплуатационные издержки будут находится в диапазоне от 1200 до 1400, а в 3% случаев в диапазоне от 600-800.

Гистограмма позволяет также получить оценки вероятности того, что величина предполагаемых, например, в будущем издержек окажется в заданном интервале. Так, приближенное значение вероятности того, что издержки будут лежать в диапазоне от 1200,

до 1800 составит 0,71 (~18% + ~33% + ~20% = 71%) – рис. 4.2. Или,

с вероятностью 0,89 можно утверждать, что величина издержек не превысит 1800 (в ~89% случаев издержки будут меньшими, чем 1800). Однако для проведения более детального анализа было бы удобнее использовать не графическую гистограмму с существенными погрешностями и приближениями, а какой-либо теоретический закон распределения, соответствующий данному эмпирическому. В этом случае появляется возможность проводить любые оценки и расчеты в аналитическом виде.

76

Реальные эмпирические распределения могут быть различными. На рис. 4.3 изображен равномерный закон распределения – во всем диапазоне изменения случайной величины все значения приблизительно равновероятны. На рис. 4.4 – закон, близкий к Пуассоновскому. На рис. 4.2 распределение издержек близко к нормальному закону распределения – наиболее распространенному в реальной экономике.

4.4. Переход от эмпирических законов распределения к теоретическим

Установление вида закона распределения исследуемой случайной величины на основе выборочных данных является одной из важных задач математической статистики. На практике очень удобно использовать какой-либо известный теоретический закон распределения (нормальный, экспоненциальный, Пуассона и др.) для последующего проведения аналитических исследований и расчетов, связанных с изучением реальной случайной величины.

Критерии, которые используют для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения случайной величины, называют критериями согласия. С их помощью устанавливается – достаточно ли хорошо опытные данные согласуются с предполагаемым законом распределения. Если да, то затем теоретический закон распределения можно использовать далее для описания случайной величины и различных оценок.

77

Основанием для выдвижения гипотезы о том, каков вид (тип) закона распределения случайной величины, может служить ее эмпирический ряд распределения, полученный методом группировки данных и его графическое представления в виде гистограммы.

Рис. 4.5.

Например, гистограмма – рис. 4.5, полученная по результатам обработки наблюдений, указывает на то, что, скорее всего, исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону (см. Приложение 1).

Для того, чтобы подтвердить или опровергнуть гипотезу о том, каков вид закона распределения случайной величины, используют следующий алгоритм.

1. На основе выборочных данных y1 , y2 , K, yN (выборки

объема N ) методом группировки строят эмпирический ряд распределения – строка «Относительная частота» в табл.4.3:

На основе эмпирического ряда распределения строят гистограмму. Вид гистограммы служит основанием для выбора предпо-

лагаемого теоретического закона распределения случайной вели-

78

чины. Этот этап называют выдвижением нулевой гипотезы – гипотезы, которая утверждает, что различие между сравниваемыми эмпирическим и теоретическим распределениями отсутствует, а наблюдаемые отличия объясняются лишь случайными отклонениями. Если выдвинутая гипотеза отвергается, то вместо нее при-

нимается альтернативная гипотеза.

2. Используя функцию плотности вероятности предполагае-

мого теоретического распределения f ( y) , вычисляют вероятности p1 , p2 , K, pm попадания случайной величины в каждый из интервалов – строка «Вероятности» в табл. 4.3.

yi

pi = ∫ f ( y) dy , (i =1,2,...m) .

yi −1

Для нахождения pi используют либо специальные таблицы,

составленные для всех основных законов распределения – [6, 10, 12], либо стандартные функции Excel – см. Приложение 1.

3. Для проверки гипотезы о том, согласуется ли эмпирическое распределение с предполагаемым теоретическим законом распределения, применяют специальный критерий согласия. В качестве критерия согласия обычно используют критерий «хи-квадрат», который «измеряет» расхождения между эмпирическим и теоретическим законами распределения. В качестве меры расхождения ис-

пользуют сумму квадратов отклонений относительных частот nNi

от «теоретических» вероятностей pi :

Установлено (см. Приложение 3), что если математическое ожидание и дисперсия случайной величины предполагаемого закона распределения точно неизвестны, а вместо них используются выборочные оценки y, S , то статистика (4.1) имеет распределение «хи-

квадрат» с m − k −1 степенями свободы, где m – число карманов (интервалов), k – число параметров теоретического распределения.

79

4.По формуле (4.1) на основе данных таблицы 4.3 вычисляют значение критерия согласия для рассматриваемой выборки –

χвыб2 .

5.Для заданного уровня значимости α (уровня надежности

γ=1−α) и числа степеней свободы m − k −1 находят границу од-

пределения «хи-квадрат» – [6, 10, 12], либо с помощью стандартной функции Excel – ХИ2ОБР ( α; m-k-1 ) – Приложение 3.

потезы нет оснований – выбранная теоретическая функция распределения согласуется с опытными данными.

y Если χвыб2 . > χкр2 . = χα2; m−k −1 , то нулевая гипотеза отверга-

ется в пользу альтернативной – считается, что выбранная теоретическая функция распределения не согласуется с опытными данными.

Алгоритм проверки гипотез о соответствии выборочных данных какому-либо теоретическому закону распределения на основе критерия согласия «хи-квадрат» легко формализуется в Excel.

Пример 4.2. По результатам предшествующей деятельности управляющим была собрана статистика по месячным эксплуатационным расходам, приведенная в таблице 4.4.

Требуется

yобработать статистический массив и определить наиболее вероятные значения эксплуатационных расходов;

yоценить вероятность того, что месячные эксплуатационные расходы не превысят 50 тыс. руб.;

yоценить вероятность того, что в будущем расходы будут не ниже, чем 38 тыс. руб.;

yоценить вероятность того, что предстоящие расходы окажутся в диапазоне 38–50 тыс. руб.

80