Кол. методы МБА 2012 / 1. Статистика / Книга по стат. методам / Книга

Рис. П2.2.

Иногда квантили находят не из условия (П2.4), когда задается уровень некоторой «доверительной» вероятности или надежности – γ , а по заданному уровню значимости α , связанному с доверительной вероятностью соотношением – α =1 −γ . В этом случае

квантиль уровня α обозначается символом χα2;n .

Для нахождения квантилей заданного уровня распределения хи-квадрат в Excel предусмотрена стандартная функция ХИ2ОБР

(…) – рис. П2.3, П2.4. Вызов функции: пункт меню Вставка ¾ Функция ¾ Категория «Статистические» ¾ ХИ2ОБР (…).

Рис. П2.3.

231

Это означает – рис. П2.5, что, во-первых χ2 0,05; 5 =11,0705 и

или

P(x < χ02,05;5 ) = 0,95 P(x <11,0705) = 0,95 .

П2.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

Распределением Стьюдента (t-распределением) называется распределение случайной величины

где Z ~ N (0;1) – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной единице, χ2 – независящая от Z случайная величина, имеющая хи-квадрат распределение с n степенями свободы.

График функции плотности вероятности для случайных величин x , имеющих распределение Стьюдента, показан на рис. П2.6. Как видно, характер кривой зависит от числа степеней свободы. С ростом числа степеней свободы, t-распределение приближается к нормальному. При n > 30 распределение Стьюдента может быть заменено на нормальное.

Распределение симметрично относительно начала координат и зависит только от одного параметра – числа степеней свободы n .

Основные числовые характеристики распределения Стьюдента:

yматематическое ожидание, мода и медиана равны нулю –

μ= 0;

yдисперсия существует только при n > 2 и равна

σ2 = n −n 2 .

233

Рис. П2.6.

Аналитический вид функции плотности вероятности для случайных величин x , имеющих t-распределение, достаточно сложен и редко применяется для проведения непосредственных вычислений:

где Γ(n) – функция специального вида, называемая гамма-функ-

цией [12].

Для нахождения нужных величин, связанных с распределением Стьюдента, составлены специальные таблицы.

Как и в случае распределения хи-квадрат, одна из основных задач, связанных с применением распределения Стьюдента, заключается в нахождении квантилей определенного уровня.

Чаще всего t-распределение применяют для построения доверительных интервалов. Для того, чтобы получить доверительный интервал, который с заданной вероятностью «накрывает»

истинное значение некоторого параметра θ , обычно конструиру-

ют или подбирают статистику – новую случайную величину, в

которую включают разность между θ и его оценкой θN . Например,

234

для получения доверительного интервала для генеральной средней (см. Приложение 3) используют статистику:

где x, S – оценки для среднего и стандартного отклонения – слу-

чайные величины, законы распределения которых известны, N – объем выборки, μ – неизвестный параметр – «истинное» математическое ожидание (генеральная средняя), не являющееся случайной величиной. Доказано, что случайная величина (П2.5) имеет t-распределение с N степенями свободы.

Если доверительная вероятность Pдов. = γ = 0,95 , то уровень значимости α =1 −γ = 0,05 . Часто задачу формулируют так: «построить доверительный интервал для неизвестного параметра, соответствующий доверительной вероятности P =1−α ».

Границы доверительного интервала определяют границы, за пределы которых случайная величина выходит достаточно редко (с вероятностью, равной α). Поэтому значение α выбирают достаточно малым, полагая, например, α=0,05 или α=0,01. Содержательно это означает, что полученный для таких значений доверительный интервал, «накрывает» истинное значение параметра с вероятностью γ =1−α = 0,95 или γ =1 −α = 0,99 .

Задача построения доверительного интервала связана с нахо-

ждением его границ, т.е. квантилей определенного уровня, которые называют критическими значениями. Обычно рассматривают два случая – доверительный интервал расположен левее критического значения, либо доверительный интервал симметричен относительно центра распределения. Для распределения Стьюдента, как правило, рассматривают второй случай и находят два критических значения – квантили −tα / 2;n и +tα / 2; n (рис. П2.7).

Для нахождения квантилей заданного уровня для распределения Стьюдента в Excel предусмотрена стандартная функция СТЬЮДРАСПОБР(…) – рис. П2.8, П2.9. Вызов функции: пункт

235

Рис. П28.

236

Основные числовые характеристики F-распределения:

Аналитический вид функции плотности вероятности для F- распределения достаточно сложен и редко применяется для проведения вычислений:

Одна из основных задач, связанных с применением F-распре- деления при проверке гипотез, заключается в нахождении квантилей заданного уровня.

Для нахождения квантилей заданного уровня F-распределе- ния в Excel предусмотрена стандартная функция FРАСПОБР(…) – рис. П2.10, П2.11. Вызов функции: пункт меню Вставка ¾ Функ-

ция ¾ Категория «Статистические» ¾ FРАСПОБР(…).

Для того, чтобы найти квантиль Fα;k1 ;k2 , в одной из ячеек рабочего листа Excel необходимо записать правую часть формулы

Fα;k1 ;k2 = FРАСПОБР(α; k1; k2),

где α – уровень значимости, k1 и k2 – число степеней свободы.

Например, если необходимо вычислить правосторонний квантиль F-распределения для уровня значимости α = 0,2 (т.е. для уровня надежности γ =1 −α = 0,8) при числе степеней свободы k1 =10 и k2 =10, то в одной из ячеек рабочего листа Excel необходимо записать формулу:

= FРАСПОБР(0,2; 10; 10).

239