Кол. методы МБА 2012 / 1. Статистика / Книга по стат. методам / Книга

ности, таблица изменения накопленных частот в зависимости от x является эмпирическим аналогом функции распределения F(x).

Гистограмма эмпирического распределения является основой для выбора соответствующего ему теоретического закона с определенной функцией плотности вероятности f(x). Это, в свою очередь, позволяет использовать формулы и соотношения теоретического распределения для последующего количественного анализа и получения вероятностно обоснованных оценок. В практической статистике такой прием используют достаточно широко – рис. П1.2.

Рис. П1.2

В каждом конкретном случае необходимо проверять соответствие эмпирического закона распределения выбранному теоретическому. Для этого разработаны специальные процедуры и критерии (Приложение 2).

П1.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Закон распределения дает исчерпывающую информацию о случайной величине, позволяя, в частности, вычислять вероятности любых событий, связанных с ней. Однако законы распределения не всегда удобны для анализа, особенно при сравнении нескольких случайных величин между собой. Кроме того, в различных приложениях часто возникает необходимость в оценке типового, ожидаемого, «среднего» значения случайной величины. Бизнес постоянно оперирует такими понятиями, как средняя выручка, средняя

201

ставка арендной платы, средняя зарплата, средний объем продаж и т.д. Для случайной величины таким средним является величина,

называемая математическим ожиданием*.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляют на основе ряда распределения (табл. П1.1.) по формуле

n

μ = M (X ) = E(X ) = x1 p1 + x2 p2 +K+ xn pn = ∑xi pi

i =1

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляют на основе функции плотности распределения

μ = M (x) = +∞∫x f (x) dx

−∞

Величину М(Х), иногда используют в качестве критерия оценки различных альтернатив, когда менеджер должен выбрать такое решение, при котором ожидаемый результат будет максимальным.

Математическое ожидание не может в полной мере охарактеризовать случайную величину. Во многих практических ситуациях наряду со средним значением, важно знать, каков диапазон изменения случайной величины, каков «разброс» значений случайной величины относительно среднего значения, насколько плотно концентрируются данные около среднего.

В качестве «измерителей» степени разброса значений случайной величины относительного среднего в теории вероятностей ис-

пользуют дисперсию и стандартное отклонение, обозначаемые символами D и σ. Между собой они связаны соотношением

σ = D или σ2 = D .

Если дискретная случайна величина, X с конечным числом возможных значений, задана своим рядом распределения (табл. П1.1.), то ее дисперсия вычисляется по формуле

* В отечественной литературе математическое ожидание принято обозначать символами μ или М(Х), в зарубежной – E(Х) (от англ. Expected – ожидаемый).

202

Как видно из формулы, дисперсия случайной величины – это математическое ожидание («среднее значение») квадрата ее отклонения от среднего значения.

Для непрерывных случайных величин дисперсию вычисляют на основе функции плотности распределения

+∞

D = D(x) = ∫[x − M (x)]2 f (x) dx

−∞

Приведенные выше формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии относятся к «теоретическим» распределениям в предположении, что законы их распределения известны и заданы либо рядом распределения, либо функцией плотности вероятности.

На основе статистических выборочных данных, например, выборки из N наблюдений x1 , x2 ,K, xN формулы для вычисления

оценок математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности – значений, приближенно равных истинным значениям, используют следующие соотношения:

где x – выборочная средняя (оценка математического ожидания генеральной совокупности x ≈ μ)

S 2 – выборочная дисперсия (оценка дисперсии для генеральной совокупности S 2 ≈ D ).

Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонения в сжатой форме отражают наиболее существенные особенности каждого конкретного распределения, поэтому их называют

числовыми характеристиками случайной величины. Многие задачи анализа можно решать, оперируя только числовыми характеристиками случайных величин без рассмотрения законов распределения.

203

Для проведения расчетов и оценок случайных величин, распределенных по закону Пуассона, в Excel предусмотрена стандартная функция ПУАССОН (…).

Вызов функции: пункт меню Вставка ¾ Функция категория

«Статистические» ¾ ПУАССОН (n; μ ; ИСТИНА / ЛОЖЬ ) –

рис. П1.4.

Рис. П1.4.

Рис. П1.5.

205

Если аргумент функции ПУАССОН (…) «Интегральная» = «ЛОЖЬ» – рис. П1.5, то вычисляется вероятность того, что X примет значение, в точности равное b:

P(X = b ) = μb e−μ b!

Если аргумент функции ПУАССОН (…) «Интегральная» = «ИСТИНА», то вычисляется вероятность того, что x примет значения, меньшие или равные b (не большие, чем b):

P(X ≤ b) = ∑b μk e−μ

k =0 k!

Для вычисления в Excel нужной вероятности в какой либо из ячеек рабочего листа Excel необходимо записать правые части одной из следующих формул:

y Вероятность того, что значения случайной величины X примут значения от 0 до b включительно (того, что значения X будут равны b и менее или иначе – примут значения, не большие, чем b)

P( x < b ) = ПУАССОН (b; m; ИСТИНА)

y Вероятность того, что значения случайной величины X примут значения, большие, чем b

P( x > b ) = 1 – ПУАССОН (b; m; ИСТИНА) .

y Вероятность того, что значения случайной величины X будут находиться в диапазоне от a до b включительно

P( a < x < b ) = ПУАССОН (b; m; ИСТИНА) –

–ПУАССОН (a; m; ИСТИНА) .

y Вероятность того, что значение случайной величины X будет в точности равно b

P( x = b ) = ПУАССОН (b; m; ЛОЖЬ) .

206

П1.3.2. Равномерное распределение

Когда значения случайной величины внутри определенных границ равновероятны, то говорят, что случайная величина имеет равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на промежутке [a,b], если ее функция плотности вероятности постоянна на этом промежутке и равна нулю вне его:

Как следует из (П1.2) распределение полностью определяется двумя параметрами – границами интервала [a,b].

Числовые характеристики распределения:

yматематическое ожидание μ = a +2 b ;

yстандартное отклонение σ = b2−3a .

График функции плотности вероятности равномерного распределения показан на рис. П1.6.

f(x)

1

b − a

Рис. П1.6.

207

Вероятность того, что значения случайной величины X будут находиться в диапазоне от c до d:

P(c < x < d) = d −c b −a

Для вычисления в Excel нужной вероятности в какой либо из ячеек рабочего листа необходимо записать правые части одной из следующих формул:

P(c<x<d) =(d-c)/(b-a) . P(x<c) =(c-a)/(b-a) . P(x>d) =(b-d)/(b-a) .

П1.3.3. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение хорошо описывает процессы «ожидания в очереди», время обслуживания клиентов и заявок в системах, которые называют системами массового обслуживания.

Функция плотности вероятности экспоненциального распределения имеет вид:

Как следует из (П1.3) распределение полностью определяется одним параметром – λ , который связан с математическим ожиданием и стандартным отклонение случайной величины, распределенной по этому закону, формулами:

yматематическое ожидание μ = λ1 ;

yстандартное отклонение σ = λ1 .

Вид кривой распределения (П1.3) показан на рис. П1.7. Аналитически, вероятность того, что случайная величина X

примет значение из промежутка [a,b] – рис. П1.8, можно вычислить по формуле:

P(a < x < b) = λ ∫b e−λ x dx = e−λa − e−λb .

a

208

Для проведения расчетов и оценок случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону, в Excel предусмотрена стандартная функция ЭКСПРАСП (…) – рис. П1.9, П1.10, которая вызывается из пункта меню Вставка ¾ Функция ¾ Категория

«Статистические» ¾ ЭКСПРАСП ( … ).

Рис. П1.9.

209