Кол. методы МБА 2012 / 1. Статистика / Книга по стат. методам / Книга

Дисперсионный анализ

Соответствующая линейная регрессионная модель имеет вид yрасч. = 212,39 +8,24 x1 + 40,09 x2 − 43,95 x3 .

Анализируя качество модели, можно сделать следующие выводы. Критерии R2 = 0,820744 и «Значимость F» = 0,000204 говорят о неплохой статистической значимости модели в целом, а именно:

y на ~ 82% изменение y обусловлено изменением именно

этих трех факторов;

y с уровнем надежности P = 1 – 0,000204 = 0,999816 можно утверждать, что регрессионная модель лучше описывает набор данных, чем модель вида yрасч. = y , где y равно среднему значению, вычисленному по выборке.

«Стандартная ошибка» ( Sост.) = 64,941 несколько велика для тех значений y , которые приведены в выборке. Кроме того,

95-процентный доверительный интервал для коэффициента ao

(«Y-пересечение») содержит ноль, что говорит о низкой статистической значимости этого коэффициента и возможной целесообразности его исключения из модели.

Информацию о точности и качестве расчетов по линейной модели дает модифицированная таблица «Вывод остатка». Точность модели неудовлетворительная – средняя ошибка аппроксимации – 27%. Для отдельных наблюдений она достигает неприемлемо больших значений. Следовательно, ее применение для аналитических расчетов может привести к недостоверным выводам и неверным результатам.

171

ВЫВОД ОСТАТКА

Рассмотрим в качестве альтернативы мультипликативную модель вида y = a0 x1a1 x2 a2 x3a3 . Если прологарифмировать обе части равенства, то модель становится линейной по искомым коэффициентам (за исключением ao ).

В этой модели «новые» факторы – это натуральные логарифмы исходных факторов, а зависимая переменная – натуральный логарифм исходной зависимой переменной.

Для нахождения МНК-оценок коэффициентов – ln ao , a1 , a2 , a3

преобразуем исходную выборку (табл. 6.3), прологарифмировав все выборочные данные – табл. 6.4.

Используя инструмент «Регрессия» из Пакета анализа, находим оценки коэффициентов мультипликативной модели.

Результаты расчетов приведены в таблицах.

172

173

Как следует из последней таблицы «коэффициентов», искомые оценки равны:

lnαo = 5,161 α0 = e5,161 =174,38, α1 = 0,752, α2 =2,42, α3 =-3,069.

Соответствующая мультипликативная регрессионная модель

Таблица «Вывод остатка» – табл. 6.5, выводимая инструментом «Регрессия», как и все остальные таблицы, характеризует точность расчетов не мультипликативной модели (6.11), а модели (6.10) – модели «в логарифмах».

Более правильно оценивать качество мультипликативной модели на основе сравнения реальных статистических данных (данных исходной выборки – табл. 6.3) со значениями, вычисленными на основе модели (6.11) – табл. 6.6. Соответствующие вычисления легко формализуются в Excel.

174

Как следует из табл. 6.6 мультипликативная модель обеспечила существенно более высокую точность расчетов – средняя ошибка 3%, в отличие от линейной модели, для которой средняя ошибка аппроксимации составляла 27%. Мультипликативная модель оказалась существенно более точной по сравнению с линейной.

Вместе с тем, можно заметить, что она дает небольшое смещение расчетных значений в большую сторону по отношению к математическим ожиданиям – средним значениями y при данном наборе

факторов. Об этом свидетельствует сумма остатков Σост. = 8, (при несмещенных оценках сумма остатков должна быть равна нулю).

Другой класс нелинейных по факторам, но линейных по оцениваемым коэффициентам моделей в общем виде можно представить следующим образом

где f1 , f2 ,K, fk – известные, или выбранные исходя из каких либо соображений функции, зависящие от факторов x1 , x2 ,K, xm ;

175

f1 = f1 (x1 , x2 ,K, xm ), f2 = f2 (x1 , x2 ,K, xm ) , …, fk = fk (x1 , x2 ,K, xm ); ao , a1 ,a2 ,K,ak – коэффициенты модели, которые необходимо

оценить по статистическим выборочным данным.

Для каждого выборочного наблюдения такая регрессионная модель

yi = ao + a1 f1i + a2 f2i +K+ ak fk i +εi (i =1, 2, K, N )

сохраняет все предпосылки классического регрессионного анализа, касающиеся свойств ненаблюдаемых ошибок εi (аддитивность, не-

зависимость, нормальное распределение εi с нулевыми математиче-

скими ожиданиями и одинаковой дисперсией). Поэтому для оценки их качества можно использовать стандартные критерии, применяемые для линейной регрессии. Исходная выборка – табл. 6.7 в этом случае должна быть преобразована в выборку с «новыми» факторами.

В результате получаем обычную линейную регрессионную модель

y = ao + a1 u1 + a2 u2 +K+ ak uk ,

оценить коэффициенты которой, можно по изложенному выше алгоритму

176

В качестве функций f1 , f2 ,K, fk , зависящих от факторов x1 , x2 ,K, xm , можно использовать степенные функции. Такой под-

ход можно обосновать тем, что априори неизвестная функция, связывающая между собой исследуемый показатель и факторы

y = F(x1 , x2 ,K, xm )

может быть представлена рядом Тейлора, т.е. «заменена» с необходимой точностью алгебраическим многочленом некоторой степени – суммой степенных функций.

Например, если y зависит от двух переменных y = F(x1 , x2 ) , то

F (x1 , x2 ) ao + a1 x1 + a2 x2 + a3 x12 + a4 x2 2 +a5 x1 x2 +a6 x13 +K

Выбор количества членов степенного ряда определяется той точностью, с которой необходимо аппроксимировать искомую функцию.

Построение регрессии обычно начинают с линейного приближения (оставляют первые три слагаемых).

y = ao + a1 x1 + a2 x2 .

Если качество полученной модели неудовлетворительное, то в нее добавляют следующие слагаемые, содержащие квадраты факторов и их произведение

F (x1 , x2 ) = ao + a1 x1 + a2 x2 + a3 x12 + a4 x2 2 +a5 x1 x2

Процедура улучшения модели за счет добавления новых членов с более высокими степенями продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность аппроксимации. При этом на каждом шаге необходимо контролировать значимость вновь вводимых коэффициентов модели и модели в целом.

Основным недостатком подобного подхода является то, что многофакторные полиномиальные модели можно строить только на основе достаточно больших выборок – с ростом числа вводимых в модель «новых» факторов, минимальный объем выборки, необходимый для получения статистически значимых результатов, резко увеличивается.

177

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ (ГЛОССАРИЙ)

Регрессионная модель (регрессия) – Функция f (x1 , x2 ,K, xm ) ,

описывающая зависимость условного среднего значения (условного математического ожидания) исследуемого показателя y от на-

бора факторов (x1 , x2 ,K, xm ) .

Аппроксимация – (от лат. approximo – приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле, близкими к исходным.

Метод наименьших квадратов (МНК) – метод оценивания параметров уравнения аппроксимирующей кривой, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений статистических данных от расчетных.

Уравнение линейной регрессии (однофакторная регресси-

онная модель) – модель вида y =α + β x , где α, β – МНК-оценки коэффициентов, полученные на основе выборочных данных.

Множественная (многофакторная) линейная регресси-

онная модель – регрессионная модель вида yi = ao + a1 x1i +

+ a2 x2i +K+ am xmi +εi .

Остаточная дисперсия σост2 . – мера разброса данных выборки относительно линии регрессии.

Выборочная остаточная дисперсия Sост2 . – оценка остаточ-

ной дисперсии σост2 . , вычисляемая на основе выборочных данных и полученного уравнения регрессии.

Критерий R2 (коэффициентом детерминации) – критерий качества регрессионной модели. Показывает долю разброса зависимой переменной, обусловленную изменением фактора (совокупности факторов), включенного (включенных) в регрессионную модель.

178

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ И РЕШЕНИЙ

6.1. Стоимость мебельной фабрики

Для оценки стоимости мебельной фабрики были отобраны следующие факторы, которые, по мнению оценщика, в наибольшей степени определяют ее рыночную стоимость y (млн. условных денежных единиц), а именно

•объемперерабатываемойдревесины– x1 (кубометров/месяц),

•число единиц задействованного энергоемкого оборудования – x2,

•среднемесячное число рабочих смен – x3,

•численность персонала – x4.

Для решения задачи была собрана статистика по фабрикаманалогам, которая приведена в таблице.

Требуется

1.Установить, существует ли взаимосвязь между перечисленными факторами и стоимостью.

2.Построить на основе имеющейся статистики математическую модель для оценки стоимости мебельной фабрики вида

y расч. =α0 +α1 x1 +α2 x2 +α3 x3 +α4 x4 .

3. Оценить качество полученной модели.

179

4. Оценить стоимость фабрики с характеристиками

•объем перерабатываемой древесины – 2330 куб/месяц,

•число единиц задействованного энергоемкого оборудования – 4,

•среднемесячное число рабочих смен – 3,

•численность персонала – 39 рабочих.

Решение

1. Взаимосвязь между стоимостью фабрики и факторами: объемом перерабатываемой древесины – x1 (куб/месяц), числом единиц задействованного энергоемкого оборудования – x2 , среднемесячным числом рабочих смен – x3 и численностью персонала x4

(человек) иллюстрирует корреляционная матрица (инструмент «Корреляция» из Пакета анализа Excel):

речисленные факторы влияют на стоимость фабрики. При этом, наиболее существенно – число единиц энергоемкого оборудования – x2 ( ryx2 = 0,87 ) и среднемесячное число рабочих смен – x3

( ryx3 = 0,51).

2. Математическая (регрессионная) модель для оценки стоимости мебельной фабрики, построенная с помощью инструмента «Регрессия» из Пакета анализа Excel:

yрасч. = 51,84 +0,0279 x1 +12,52 x2 + 2,536 x3 −0,235 x4 .

180