25. Переход к базису собственных векторов, когда все собственные числа различны.

26. Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду

Метод Лагранжа

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать  (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где , а через  обозначены все остальные слагаемые.  представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что  Второй случай заменой переменных  сводится к первому.

27. Инерция квадратичных форм

Пусть k(x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn.

В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной.

В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

k(x) = λ₁x₁² + λ₂x₂² + ... + λ_nx_n².

Числа λ₁, λ₂, ... , λ_n — канонические коэффициенты квадратичной формы.

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

28. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(1)

где φ – угол между векторами а и b

Формуле (1) можно придать иной вид, так как │а│cosφ = пр_ba и │b│cosφ = пр_аb , то получим:

(2)

а

φ

b

То есть Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось.

Свойства скалярного произведения:

1) Скалярное произведение обладает переместительным свойством.

так как │а││b│= │b││a│, cos(a,b) = cos(b,a), то ab = ba

2)Скалярное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

(λa)b = λ (ba)

(λa)b = │b│пр_bλa = λ│b│пр_ba = λ (ab)

3) Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

a(b + с) = ab + ac

a(b + c) = │a│пр_а(b+c) = │a│(пр_ab+пр_ac) = │a│пр_ab+│a│пр_aс = ab + ac

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

а² = │а│²

а² = а∙а = │а│∙│а│cos1 = │а│∙│а│= │a│²

В частности i² = j² = k² = 1

Если а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначаль-

ный вектор, а его модуль.

Пример:

Найти длину вектора с=3а-4b, если │а│=2;│b│=3; (a,b)=π\3

Решение:

│с│=

5)Если вектора a и b ненулевые, взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Следовательно верно и обратное утверждение: если произведение векторов а и b равно 0, значит вектора взаимно перпендикулярны.

В частности: ij = jk = ki = 0

Выражение скалярного произведения через координаты.

Пусть заданы два вектора а = а_хi + а_yj + а_zk и b = b_хi + b_yj + b_zk. Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их, как многочлены и пользуясь таблицей скалярных произведений векторов i, j, k

	i	j	k
i	1	0	0
J	0	1	0
k	0	0	1

a∙b = (а_хi + а_yj + а_zk)( b_хi + b_yj + b_zk)= а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z

То есть a∙b = а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z

Пример: доказать что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(

-4;-4;4), В(-3;2;2), С(2;5;1) и D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение:

Составим вектора АС и ВD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника, имеем:

АС(2-(-4);5-(-4);1-4)=(6;9;3) и BD(6;-4;0)

Найдем скалярное произведение этих векторов:

АС∙BD = 6∙6+9(-4)+0(-3) = 36-36 = 0

Следовательно вектор АС перпендикулярен вектору BD, значит диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве задана ось l α

M

M₁ L

Проекции точки М на ось l называется основание перпендикуляра ММ₁ опущенного из точки на ось. Точка М₁ – есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.

Пусть АВ - произвольный вектор. │АВ│≠ 0. Обозначим через А₁ и В₁ проекции на ось l соответственно начало А и конец В вектора АВ и рассмотрим вектор А₁В₁

Проекции вектора АВ на ось l называется положительное число │А₁В₁│, если вектор А₁В₁ и ось l одинаковы направлены, и отрицательное число - │А₁В₁│, если вектор А₁В₁ и ось l противоположно направлены.

А В

А₁ В₁ l (и соотв

наоборот)

Если точки А₁ и В₁ совпадают (│А₁В₁│=0), то проекцией вектора АВ=0. Проекция вектора АВ на ось l обозначается: пр_lАВ. Если АВ = 0 или АВ перпендикулярен к оси l, то пр_lАВ=0.

Угол φ между вектором а и осью l изображен на рисунке:

A

φ l

Рассмотрим некоторые основные свойства проекции:

1) Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на cosφ

пр_l а= │а│∙ cosφ

Если

Если

Если

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и туже ось равны между собой.

2) Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось. d = a + b + c ; пр_l(a+b+c) = пр_la + пр_lb + пр_lc

b

a с

d

a b l

d c

3) При умножении вектора а на число λ, его проекция на ось также умножается на это число: пр_l(λa) = λ пр_la

при λ›0 имеем: пр_l(λa) = │λa │cosφ = λ│a│ cosφ = λ пр_la

при λ‹0 имеем пр_l(λa) = │λa │cos(π-φ) = -λ│a│(-cosφ) = λаcosφ = λ пр_la

свойство спра ведливо при λ = 0

Угол между векторами.

Определение угла φ между векторами а (а_х; а_y; а_z) и b(b_х; b_y; b_z)

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторо a и b:

а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z = 0