- •Определители 2го и 3го порядка. Решение систем линейных уравнений из 2х и 3х уравнений
- •Определители n-ного порядка. Их элементарные свойства
- •Разложение определителя по строке
- •Линейные системы n-го порядка. Правило крамера
- •Матрицы. Их виды и операции с ними(сложение, умножение, умножение на число и транспонирование)
- •Обратная матрица
- •Матричные уравнения
- •Решение линейных систем n-го порядка в матричном виде(в терминах обратной матрицы)
- •Линейная зависимость(независимость) столбцов матрицы. Ранг матрицы.
- •Теорема о базисном миноре
- •Методы вычисления ранга матрицы и нахождения базисного минора
- •Линейные системы уравнений общего вида. Их элементраные преобразования. Метод гаусса решения таких систем.
- •Однородные системы уравнений. Ранг матрицы и существование нетривиального решения.
- •Структура общего решения однородной системы уравнений.
- •Неоднородные системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера-Капелли
- •Строение множества решений неоднородной системы уравнений общего вида.
- •Векторное пространство. Операции над векторами. Линейная независимость
- •Базис пространства. Размерность пространства
- •Связь между различными базисами.
- •Преобразование координат при замене базиса.
- •Линейные операторы и их матричная форма.
- •Действия с линейными операторами.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •Собственные числа и собственные вектора линейного оператора
- •Переход к базису собственных векторов, когда все собственные числа различны.
- •Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду
- •Инерция квадратичных форм
- •Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Угол между векторами.
- •Векторное произведение, смешанное произведение векторов. Их геометрический смысл.
- •Линии второго порядка на плоскости.
- •Прямая на плоскости
- •Элипс, ее директриссы
- •Гипербола, ее директриссы
- •Парабола
- •Уравнение кривых второго порядка в полярных координатах.
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость. Две плоскости в пространстве
- •Две прямые, точка и плоскость, точка и прямая в пространстве
- •Поверхности второго порядка в пространстве
-
Гипербола, ее директриссы
Гипербола.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.
y
M(x;y)
F(-c;0) F(c;0) x
x=-a x=a
Согласно определению гиперболы │МF1│-│MF2│ = 2а, то есть
После упрощений, как это было при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:
(7)
b2 = c2 – a2 (8)
-
Парабола
Парабола.
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается буквои Р(Р>0). Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху, так чтобы ось Ох проходила через фокус F.
N M(x;y)
x=-P/2 0 x F(P\2;0) x
По определению параболы МF = MN, по формуле расстояний между двумя точками находим: отсюда получаем:
(9)
Это и есть каноническое уравнение параболы.
Пример: из уравнения (1) можно определять:
при А=С – окружность
АС>0 – эллипс
АС<0 – гипербола
АС=0 – парабола
Пример: установить вид прямой 2 –ого порядка, заданной уравнением 4х2+5у2-20х-
-30у+10=0
Решение: А=4 С=5 АС=4∙5=20>0 – следовательно это эллипс
Центр эллипса -
Пример 2: х2+10х-2у+11=0 С=0 АС=0 следовательно парабола
х2+10х-2у+11+25-25=0
(х+5)2 = 2у+14
(х+5)2=2(у+7) – уравнение параболы
О(-5;7) – вершина параболы ; Р=1
-
Уравнение кривых второго порядка в полярных координатах.
Кривой второго порядка на плоскости называют множество точек (х, у) удовлетворяющие:
Ax+ 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = 0 (a)
Сдвиг начала координат
x=х’ +a y=y’ +b a и b const
Получаем такое же уравнение (а) только с другими коэффициентами
Поворот системы координат
X= x’cos – y’ sin
Y= x’sin + y’ cos
При повороте уравнение (а) остаётся, только с другими коэффиц.
Можно ли с этими процедурами упростить А?
С помощью поворота:
A(x’cos – y’sin ) + 2B(x’cos – y’sin)*(x’sin + y’cos+ C(x’sin + y’cos2+. . . =
x’y’(-2Acossin + 2cossin+ 2B(cos2 – sin2) + . . . = x’y’[sin2(C-A)+2Bcos2]+. . .
нужно обнулить это уравнение
(C – A)sin2 = 2B cos tg 2 =
Tg принимает любое значение, поэтому это уравнение имеет решение при любой кривой части, следовательно, Bxy можно устранить с помощью поворота
Ax2 +Cy2 + 2Dx + 2Ey +F = 0 (b)
Если АС 0 то можно устранить Е и С
A(x + )2 + C(y + )2 +F2 = 0
Можно написать: x’ = x +
y’ = y + сдвиг начала системы координат
Ax2 + Cy2+ F = 0 (c)
A,C,F – одного знака, тогда + = -1 F переношу направо и делю на F, получаем уравнение мнимого элипса