36. Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости.

Расмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z;

Ax + By + Cz + D =0 (1)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А,В,С не равен 0, например В≠0 перепишем уравнение (1) в виде:

А(х-0) + В(у+D\В) + C(z-0) = 0 (2)

Уравнения (1) и (2) являются уравнениями плоскости, нормальным вектором n(A;B;C) проходящей через . Итак, уравнение (1) определяет в системе координат Охуz некоторую плоскость. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) D = 0, то Ах+Ву+Сz=0 – этому уравнению удовлетворяет точка 0(0;0;0), следовательно в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2) С= 0, то Ах+Ву+D=0 n=(A;B;0) перпедикулярен Oz, следовательно плоскость:

если В=0 || Оу

А=0 || Ох

С=0 || Оz

3) C=D=0 , то плоскость проходит через 0(0;0;0), то есть Ах+Ву=0 проходит через ось Oz

Аналогично: Ву+Сz = 0 ||Ox

Ax+Cz = 0 ||Oy

4) A=B=0 то уравнение (1) принимает вид Cz+D=0, то есть z=-D\C. Плоскость || плоскости Оху

Аналогично: Ах +D = 0 || Oyz

By +D = 0 || Oxz

5)A=B=D=0, то уравнение (1) имеет вид Cz=0, то есть z=0 – это уравнение плоскости Оху

Аналогично: y = 0 || Oxz

x = 0 || Oyz

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпендикулярно данному вектору.

Пусть в пространстве Охуz в плоскости Q задана точка М₀(х₀;у₀;z₀) с вектором n(A;B;C) препендикулярным к этой плоскости.

z

n

M₀

M y

x Q

Введем уравнение плоскости Q, возьмем на ней произвольную точку М(х;у;z) и составим вектор ММ₀

При любом расположении точки М на плоскости Q векторы n и ММ₀ всегда взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно 0 (nMM₀=0)

(3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (3). Координаты точек, нележащих на плоскости Q этому уравнению не удовлетворяют. Уравнение (3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀;у₀;z₀) перпендикулярно вектору n(A;B;C) Оно в первой степени, относительно текущих координат х,у,z. Вектор n(A;B;C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам А,В,С уравнения (3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через М₀.

Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (3) – уравнением связки плоскостей.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂), М₃(х₃;у₃;z₃), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскоости произвольную точку М(х;у;z) Составим М₁М(х-х₁;y-y₁;z-z₁);М₁М₂ (х₂-х₁;y₂-y₁;

;z₂-z₁) и М₁М₂ (х₃-х₁;y₃-y₁; z₃-z₁)

Эти вектора лежат на плоскости Q, следовательно они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов. Их смешанное произведение равно 0.

(4)

Уравнение (4) – есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскостm отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки a,b и c.

z

C(0;0;C)

B(0;b;0)

y

A(a;0;0)

То есть плоскость проходит через тоски А,В,С. Подставляя эти значения в уравнение (4) получим:

Раскрыв определитель имеем: bcx–abc+abz+acy = 0, то есть bcx+acy+abz=abc

(5)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости.

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора е, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат и длиной р этого перпендикуляра.

z

K

e M

γ r

β y

α

x

Пусть ОК = Р, а α ,β и γ – углы образованные единичным вектором е с осями Ох,Оу и Oz. Тогда вектор е = (cosα; cosβ; cosγ).Возьмем на плоскости произвольную точку М(х;у;z)

и соеденим её с началом координат, образуем вектор r=OM(x;y;z). При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора r на направление вектора е: пр_еr=р, то есть re=р или

r∙е – р = 0 (6)

Уравнение (6) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов r и е, уравнение (6) перепишем в виде:

xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0 (7)

Уравнение (7) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (1) можно привести к нормальному уравнению (7), так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости, а именно: умножив обе части уравнения (1) на нормирующий множитель . Знак берется противоположным знаку свободного члена р общего уравнения.