38. Прямая и плоскость. Две плоскости в пространстве

Угол между двумя плоскостями.Условие параллельности и

перпендикулярности двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ =0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ =0

Под углом между Q₁ и Q₂ принимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол φ между n₁(A₁;B₁;C₁) и n₂(A₂;B₂;C₂) равен одному из этих углов.

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Q₂

Q₂ n₂

m

n₁ Q₁

n₁ перпендикулярен n₂, тогда n₂n₁=0,

n₂ то есть А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0

φ Q₁

n

Q₂

m Q₂

39. Две прямые, точка и плоскость, точка и прямая в пространстве

две прямые

1) Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями:

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами С₁(m₁;n₁;p₁) и С₂(m₂;n₂;p₂). Поэтому по формуле для косинуса угла между векторами:

(14)

Для нахождения осторого угла между прямыми L₁ и L_2, числитель правой части в формуле (14) следует взять по модулю.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то cosφ=0, значит m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то

Условие при котором две прямые лежат в одной плоскости.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

И их направляющие в2ектора: S₁(m₁; n₁; p₁) и S₂(m₂; n₂; p₂)

Прямая L₁ проходит через точку М₁(х₁;у₁;z₁), радиус-вектор которой обозначим r₁ Прямая L₂ проходит через точку М₂(х₂;у₂;z₁), радиус-вектор которой обозначим r₂

z L₂

S₂

M₂

r₂-r₁

r₁

S₁ L₁

r₂ y

x

Тогда r₂ – r₁ = М₁М₂ = (х₂-х₁;y₂-y₁;z₂-z₁)

Прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоскости, если вектора S₁ и S₂ и m₁ и m₂ – коллинеарны. Условием компланарности векторов является равное нулю их смешанное произведение, то есть: (r₂ – r₁)S₁S₂ = 0, то есть:

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка М₀(х₀;у₀;z₀) и плоскость Q со своим уравнением Ax+By+Cz+D=0

Расстояние d от точки М₀ до плоскости Q находится по формуле:

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки М₀ до прямой линии.

Расстояние d от точки М₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора М₁М₀, где М₁(х₁;у₁;z₁) – произвольная точка в плоскости Q на направлении нормального вектора n(A;B;C)

z

M₀ n

Q

0 M₁

y

x

Так как точка М₁(х₁;у₁;z₁) принадлежит плоскости Q, то Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D =0, то есть

D = -Ax₁ – By₁ – Cz₁

Отметим что если плоскость Q задана уравнением xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0, то расстояние от точки М₀ до плоскости Q может быть найдено по формуле:

d =│x₀cosα + y₀cosβ + z₀cosγ – p│