- •Определители 2го и 3го порядка. Решение систем линейных уравнений из 2х и 3х уравнений
- •Определители n-ного порядка. Их элементарные свойства
- •Разложение определителя по строке
- •Линейные системы n-го порядка. Правило крамера
- •Матрицы. Их виды и операции с ними(сложение, умножение, умножение на число и транспонирование)
- •Обратная матрица
- •Матричные уравнения
- •Решение линейных систем n-го порядка в матричном виде(в терминах обратной матрицы)
- •Линейная зависимость(независимость) столбцов матрицы. Ранг матрицы.
- •Теорема о базисном миноре
- •Методы вычисления ранга матрицы и нахождения базисного минора
- •Линейные системы уравнений общего вида. Их элементраные преобразования. Метод гаусса решения таких систем.
- •Однородные системы уравнений. Ранг матрицы и существование нетривиального решения.
- •Структура общего решения однородной системы уравнений.
- •Неоднородные системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера-Капелли
- •Строение множества решений неоднородной системы уравнений общего вида.
- •Векторное пространство. Операции над векторами. Линейная независимость
- •Базис пространства. Размерность пространства
- •Связь между различными базисами.
- •Преобразование координат при замене базиса.
- •Линейные операторы и их матричная форма.
- •Действия с линейными операторами.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •Собственные числа и собственные вектора линейного оператора
- •Переход к базису собственных векторов, когда все собственные числа различны.
- •Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду
- •Инерция квадратичных форм
- •Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Угол между векторами.
- •Векторное произведение, смешанное произведение векторов. Их геометрический смысл.
- •Линии второго порядка на плоскости.
- •Прямая на плоскости
- •Элипс, ее директриссы
- •Гипербола, ее директриссы
- •Парабола
- •Уравнение кривых второго порядка в полярных координатах.
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость. Две плоскости в пространстве
- •Две прямые, точка и плоскость, точка и прямая в пространстве
- •Поверхности второго порядка в пространстве
-
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.
Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей –
и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений
(11.11) |
И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.
Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.
Замечание 11.2 Любые попытки с помощью преобразований уравнений системы (11.11) получить одно (линейное) уравнение, задающее прямую, обречены на неудачу. Одно уравнение -- это уравнение плоскости.
Общие уравнения прямой "неудобны" для получения информации о положении прямой.
Например, чтобы найти координаты какой-нибудь точки на прямой, нужно провести довольно сложные вычисления. А именно, задать произвольно какую-нибудь координату, подставить ее в систему (11.11) и из получившейся системы двух уравнений с двумя неизвестными найти две остальные координаты. Причем может оказаться, что полученная система не имеет решений. Тогда нужно произвольно задать другую координату и из системы найти две оставшиеся координаты.
Можно задать прямую в пространстве и другим способом.
Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называетсянаправляющим вектором прямой.
Пусть для прямой известны ее направляющий вектор и точка , лежащая на этой прямой. Пусть -- произвольная (текущая) точка прямой . Обозначим через и r радиус-векторы точек и соответственно (рис. 11.11).
Рис.11.11.Векторное уравнение прямой
Тогда вектор коллинеарен вектору p и, следовательно, , где -- некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что
(11.12) |
Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме.
При каждом значении параметра мы будем получать новую точку на прямой .
Замечание 11.3 Если в качестве параметра взять время, то точка будет двигаться по прямой со скоростью , причем в момент времент ее положение совпадает с точкой . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.
От векторного соотношения (11.12) перейдем к соотношениям координат. Так как -- координаты точки , то , , . Из формулы (11.12) получим
(11.13) |
Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениямипрямой.
Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части -- координаты точки на прямой.
Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.
Из уравнений (11.13) выразим параметр :
Так как во всех трех соотношениях параметр имеет одно и то же значение, то
(11.14) |
Эти уравнения называются каноническими1 уравнениями прямой.
Замечание 11.4 В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты , из которых одна нулевая.
Замечание 11.5 Канонические уравнения прямой (11.14) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений