Линейка

1. Определители 2го и 3го порядка. Решение систем линейных уравнений из 2х и 3х уравнений

Определители 2-го порядка

Пусть дана квадратная таблица из следующих чисел:

(1)

Число а₁₁∙а₂₂ – а₁₂∙а₂₁ называется определителем 2-го порядка и соответствует таблице (1). Этот определитель обозначается символом:

Числа а₁₁,а₂₂ , а₁₂,а₂₁ элементами определителя. Говорят, что элементы а₁₁,а₂₂ лежат на главной диагонали определителя, а а₁₂,а₂₁ - на побочной.

Таким образом определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

Определители 3-го порядка.

Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:

(2)

Определителем 3-го порядка, соответствующий таблице (2), называется число, равное:

а₁₁∙а₂₂∙а₃₃ + а₂₁∙а₂₃∙а₃₁ + а₂₁∙а₃₂∙а₁₃ - а₁₃∙а₂₂∙а₃₁ - а₁₁∙а₃₂∙а₂₃ - а₂₁∙а₁₂∙а₃₃

Этот определитель обозначается символом:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):

+

- первое действие

- второе действие

2. Определители n-ного порядка. Их элементарные свойства

Свойства определителей:

1. Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот

2)При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

3)Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0

4)Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0

5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6)Элементарные преобразования определителя.

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

3. Разложение определителя по строке

До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу:

detA = a_i1(–1)ⁱ⁺¹M _i1 + a_i2(–1)ⁱ⁺²M _i2 ++ a_in(–1)ⁱ⁺ⁿM _in =

₌  a_1j (–1) ^1+jM _1j + a_2j(–1)^2+jM _2j ++ a_nj(–1) ^n+jM _nj

Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. M_ij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение (–1)^i+jM_ij обозначается A_ij и называется алгебраическим дополнением элемента a_ij.