4. Линейные системы n-го порядка. Правило крамера

Решение невырожденных линейных систем.

Формула Крамера

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестных. (система (1))

Эту систему удобно записать в матричной форме: Ах = В , где

Определителем этой матрицы называется:

∆=detA

Если определитель системы отличен от 0 (∆≠0), то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений, в случае ∆≠0.

Умножим обе части уравнения Ах = В на А^-1 →А^-1Ах = А^-1В → Ех = А^-1В → х = А^-1В (2)

Отыскание решения системы по формуле (2) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (2) запишем в виде:

=

А₁₁b₁+A₂₁b₂+…+A_n1b_n – есть разложение следующего определителя по алгебраическим дополнениям:

Определитель ∆₁ получается от определителя ∆, путем замены 1 –ого столбца коэффициентом-столбцом из свободных членов. Итак:

; ;

i = 1,n - формула Крамера

5. Матрицы. Их виды и операции с ними(сложение, умножение, умножение на число и транспонирование)

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m – строк одинаковой длинны, и n – столбцов одинаковой длины.

А_ij = (a_ij)

Матрицы равны между собой , если равны все соответствующие элементы этих матриц.

(А)=(В)

а_ij=b_ij

Матрицы, размером m×n называют матрицей n –ого порядка.

Квадратной матрицей, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку называется вектор-столбцом или вектор-строкой соответственно.

- вектор – столбец

Матрица, полученная из данной матрицы, заменой каждой ее строки столбцом, с тем же номером, называется транспонированной и обозначается А^т

Пример:

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (А^Т)^Т=А

Действия над матрицами.

1)Сложение.

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

А_m×n=(a_ij) B_m×n=(b_ij) А_m×n+ B_m×n= C_m×n

Где C_m×n = (a_ij) + (b_ij) = (a_ij + b_ij)

Пример:

2. Разность. Определяется аналогично сумме.

3)Умножение на число.

К× А_m×n= К(a_ij) = (Кa_ij)

Операции сложения матриц и умножения на число обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А

2. A + В + С = (А + В) + С

3. А + (-А) = 0

4. А + 0 = А

5. 

6)

7)

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1)перестановка местами двух параллельных рядов

2)умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от 0

3)прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой, с помощью элементарных преобразований.

А~В – записывается

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны 0. Такую матрицу называют канонической.

Пример:

Произведение матриц.

Операция умножения 2 –х матриц вводится только для случая, когда число столбцов одной матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матриц А_m×n=(a_ij) и B_m×n=(b_ik) называется такая матрица С_m×n=(С_ik), такая что:

С_ik = a_i1b_1k + a_i2b_2k + a_i3b_3k + …..+a_inb_nk i = 1→m k = 1→ p

,то есть элементы i -той строки и к –ого столбца матрицы произведения С равны сумме произведений элементов i –той строки матрицы А на соответствующий элемент К –ого столбца матрицы В.

Матрицы А и В называются перестановочными, если А×В = В×А

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1)А×(В×С) = (А×В)×С

2)А×(В+С) = АВ + АС

3)(А+В)×С = АС + ВС

4)

Для операции транспонирования следующие свойства:

1)(А + В)^Т = А^Т + В^Т

2)(АВ) = В^ТА^Т

Невырожденные матрицы.

Основные понятия.

Пусть дана квадратная матрица n –ого порядка:

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det А ≠ 0

В противном случае ∆ = 0 – матрица называется вырожденной.

Матрица союзная к матрице А, называется матрица:

,где А_{ij –} алгебраические дополнения