30. Линии второго порядка на плоскости.

Кривые второго порядка.

Рассмотрим лини, определяемые уравнениями второй степени, относительно текущих координат:

Ах² + 2Вxу + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0n (1)

коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из счисел А,В,С отлично от 0. Такие линии называются кривыми второго порядка. Уравнение (1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность.

Простейшей кривой второго порядка является окружность: окружностью радиуса r, с центром в точке М₀, называется множество всех точек m плоскости, кдовлетворяющих условию: (М₀М) = r

y

M(x;y)

r

M₀(x₀;y₀)

Отсюда, из расстояний ММ₀ вытекает:

(2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности, в частности, полагая х₀=0 и у₀=0 получим уравнение окружности с центром в начале координат.

х² + у² = 0

31. Прямая на плоскости

Для нахождения точки пересечения на прямой нужно решить три уравнения:

Плоскость | A₁x +B₁y + C₁z +D₁ = 0

Прямая A₂x + B₂y + C₂z +D₂ = 0

A₃ x + B₃y + C₃z +D₃ = 0

1 вариант: решений нет, прямая параллельна плоскости

2 вариант: решение есть r = 3 n-r = 0, имеет 1 решение, есть 1 точка пересечения

3 вариант: решение есть r= 2 n-r= 1, прямая лежит в плоскости

R=1 – не может быть так как rank прямой =2, а меньше r₁, r_n быть не может, только если r₁=r_n, либо r₁>r₂

Если прямая пересекается с плоскостью, то есть угол между прямой и плоскостью

Cos = (N₁ a)/(|N| * |a|) = sin

Если прямая параллельна плоскости, то нужно найти расстояние между ними

D = |(r_o – r₁, n)

32. Элипс, ее директриссы

Эллипс.

Элипсом называется множество всех точек плоскости, сумма растояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

М(х;у) F₁M = r₁

F₂M = r₂

r₁ r₂

F₁(-c;0) 2c F₂(c;0)

директриса элипса

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними через 2С, а сумму расстояний от произвольной точки элипса до фокусов через 2А. Согласно определению │МF₁│+

+│MF₂│ = 2A

(3)

По сути это и есть уравнение эллипса.

Привидем уравнение (3) к более простому виду:

так как а>с , то а²-с²>0, значит:

(4)

Получим: b²x² + a²y² = a²b², отсюда находим, что

(5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса. Форма эллипса зависит от отношения b к а. При b=а эллипс превращается в окружность. Уравнение эллипса принимает вид: х² + у² = r²

В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением с\а. Отношение с\а – половина расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом.

(6)

Причем 0<ε<1, так как 0<с<а; r₁ = r₂ называются локальными радиусами

Теорема

Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этой точке директрисе, то отношение r\d – есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса.