15. Неоднородные системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера-Капелли

А₁₁ х₁ + а₁₂ x₂ + . . . +a_1n x_1n = b₁

A₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . +a_2n x_2n = b₂

. . . система 1 AX = B

A_n1 x₁ + a_n2 x₂ + . . . + a_mn x_n = b_m

A = {aik} матричный коэффициент

B = (b1 ) - столбцы первых частей

(bm)

Х = (х1) -

(хn)

Теорема Кронекера-Капели.

Для того что бы система уравнений (1) имела решение, необх. и дост.,что б выполнялось:

Rank A = rank A

Где A – расширенная матрица

Система линейных алгебраических уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Выводы из теоремы:

1)если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение

2)если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

3)ранг основной матрицы не может быть больше ранга расширенной матрицы

16. Строение множества решений неоднородной системы уравнений общего вида.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решениянеоднородной системы.

Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:

то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:

Здесь С₁, С₂, ..., С_n−r−1, С_n−r — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.

 

17. Векторное пространство. Операции над векторами. Линейная независимость

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения, вычитания векторов, а так же умножение вектора на число.

Пусть а и b произвольные вектора, возьмем произвольную точку 0 и построим вектор ОА= а и ОВ = b

A

а

a+b

b

O B

В таком случае сумма векторов производится по правилу параллелограмма.

Если начало и конец векторов соответствуют, то сумма векторов производится по правилу треугольника.

b

а a+b

a₂

a₁

a₃

a_n-1

a₁+..+a_n

a_n

Под разностью векторов а и b понимается вектор с, такой что b + c = a

a a – b = a + (-b)

a

c

b

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и b, одна направленная диагональ является суммой векторов а и b, а другая разностью векторов. Можно вычитать векторы по правилу: а – b = a + (-b), то есть вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором противоположным вектору b.

Произведение а на скаляр.

Произведением вектора а на скаляр, называется вектор λа, который имеет длину │λ│∙│а│, коллинеарен вектору Q, имеет направление вектору а, если λ › 0 и противоположен по направлению, если λ ‹ 0.

Пример:

а b

2a -3b

Из определения произведения векторов на число следуют свойства этого произведения:

1. если b = λa , то b параллелен а

если а параллелен b и а ≠ 0, то при некотором λ, верно равенство λb = a

2) всегда а = │а│∙ а^-0 ,где а^-0 - орта вектора а .

то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. а + b = b + a

2) (a + b) + c = a + (b + c)

3) λ₁(λ₂a) = λ₁λ₂a

4) (λ₁+ λ₂)a = λ₁a + λ₂a

5) λ(a + b) = λa + λa

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором, как это делается в обычном алгебре: слагаемые меняют местами, вводят скобки, группируют, выносят за скобки, как скалярные, так и векторные общие множители.