1.4.3. Пример решения задачи

Кривошип OA длиной 0,2 м вращается рав­номерно с угловой скоростью ω_OA = 10 с^–1 и при­водит в движение шатун АВ длиной 1 м. Пол­зун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рисунок 16.1).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычис­лим скорость точки А как точки вра­щающегося кривошипа:

.

Она направлена перпендикулярно ОА (рисунок 17.1).

Рисунок 16.1 Рисунок 17.1 Рисунок 18.1

Скорость v_B ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его то­чек: А и В. Восставляя перпендику­ляры к векторам этих скоростей, на­ходим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ;.

Из треугольника АВР имеем |АР| = 1 м; |ВР| = м, и тогда

.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускоре­ние точки А как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как, поскольку.

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точке О (рисунок 18.1).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся тео­ремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

. (1)

Центростремительное ускорение точки В в относи­тельном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точкиВ к полю­су — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формулеи пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения. Направление векторатакже не может быть определе­но однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедлен­ным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направлениесовпадет с направле­нием, а векторнаправим перпендикулярно от­резкуВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать дви­жение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость(рисунок 17.1, 18.1).

Теперь в равенстве (1) все ускорения имеют определен­ное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

.

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

.

Отсюда следует, что

.

Отрицательные знаки у величин ипоказывают, что их истинные направления противоположны принятым.

1.4.4. Вопросы для самоконтроля

(защиты задачи)

1. Какое движение тела называется плоским и как оно задается?

2. Как определить скорость любой точки плоской фигуры?

3. Что называется мгновенным центром скоростей?

4. Способы определения мгновенного центра скоростей.

5. Как определить скорость любой точки плоской фигуры, если известен мгновенный центр скоростей?

6. Как определить ускорение любой точки плоской фигуры

Глава 3.ДИНАМИКА

Задача 5. Динамика материальной точки

1.5.1. Содержание задания

Варианты 1—5 (рисунок 19.1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течениес.. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равенf.

В точке B тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростьюв точкуС плоскости BD, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухеTс.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопро­тивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: = 30°;= 0;f = 0,2; l = 10 м; = 60°. Определитьиh.

Вариант 2. Дано: = 15°;= 2м/с; f = 0,2; h = 4 м; = 45°. Определитьl и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: = 30°;= 3,5 м/с; f; l = 4 м; d = 10 м; = 60°. Определитьи.

Вариант 4. Дано: = 0;= 2с; l = 9,8 м; = 60°;f = 0. Определить иT.

Вариант 5. Дано: = 30°;= 0;l = 9,8 м; = 3с; = 45°. Определитьи.

Варианты 6—10 (рисунок 20.1 ). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длинуl, со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участкеАВ равен f. Лыжник от A до В движется с; в точке В со скоростью он покидает трамплин. ЧерезТс лыжник приземляется со скоростью в точкеС горы, составляющей угол с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: = 20°;= 0,1;= 0,2с; h = 40 м; = 30°. Определитьl и .

Вариант 7. Дано": = 15°;= 0,1;= 16м/с; l = 5 м; = 45°. ОпределитьиT. .

Вариант 8. Дано: = 21м/с; = 0;= 0,3с; = 20м/с; = 60°. Определитьиd.

Вариант 9. Дано: = 15°;= 0,3с; = 0,1;h = м; = 45°. Определитьи.

Вариант 10. Дано: = 15°;= 0;- 12м/с; d = 50 м; = 60°. Определитьи уравнение траектории лыжника на участкеВС.

Варианты 11—15 (рисунок 21.1). Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается т с по участкуАВ длиной l, составля­ющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участкеАВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров ширинойd, находясь в воздухе Тс и приземля­ясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равнаm.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом матери­альной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: = 30°;;l = 40 м; = 0;= 4,5м/с; d = 3 м. Определить иh.

Вариант 12. Дано: = 30°;P = 0; l = 40 м; = 4,5м/с; h = 1,5 м. Определить иd.

Вариант 13. Дано: = 30°;m = 400 кг, = 0;= 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: = 30°;m = 400 кг, Р = 2,2 кН; = 0;l = 40 м; d = 5 м. Определить и.

Вариант 15. Дано: = 30°;= 0;Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2 м; d = 4 м. Определить Tи m.

Варианты 16—20 (рисунок 22.1). Камень скользит в течение спо участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длинуl. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равенf. Имея в точкеВ скорость , камень черезTс ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: = 30°;= 1м/с; l = Зм; f = 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: = 45°;l = 6 м; = 2;= 1с; h = 6 м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано: = 30°;l = 2 м; = 0;f = 0,1; d = 3 м. Определить h и .

Вариант 19. Дано: = 15°;l = 3 м; = 3м/с; ;= 1,5с; d = 2 м. Определить иh.

Рисунок 19.1 . Рисунок 20.1.

Рисунок 21.1 Рисунок 22.1

Рисунок 23.1 Рисунок 24.1

Вариант 20. Дано: = 45°;=0;f = 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Определить l и .

Варианты 21—25 (рисунок 23.1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость. Коэффициент трения скольжения равенf. Через с тело в точке В со скоростью по­кидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точкуС со скоростью ; при этом оно находится в воздухеTс.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: = 30°;f = 0,1; = 1м/с; = 1,5с; h = 10 м. Определить иd.

Вариант 22. Дано: = 0;= 45°;l = 10 м; = 2с. Определить / и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f = 0; = 0;l = 9,81 м; = 2 с;h = 20 м. Определить иТ.

Вариант 24. Дано: = 0;= 30°;f = 0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить иh.

Вариант 25. Дано: = 0;= 30°;f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить и.

Варианты 26—30 (рисунок 24.1). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длинойl в течение с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точкеВ покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухеТ с. При решении задачи принять тело за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: = 7м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить d и .

Вариант 27. Дано: = 4м/с; f =0,1; = 2с; d = 2 м. Определить иh.

Вариант 28. Дано: = 3м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить иТ.

Вариант 29. Дано: = 3м/с; = 1м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить и.