1.5.4 Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

1. Сформулируйте законы динамики.

2. Запишите дифференциальные уравнения движения матери­альной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат.

3. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на естественные оси.

4. Сущность первой задачи динамики и порядок ее решения.

5. Сущность второй задачи динамики и порядок ее решения.

Задача 6. Применение теоремы об изменении кинетической

энергии к изучению движения механической системы

1.6.1. Содержание задания

Для приведенных на схемах 1-30 (рисунок 28.1) механических си­стем, используя теорему об изменении кинетической энер­гии в интегральной форме, определить угловую скорость (варианты 4, 6, 7, 9, 11, 18, 25, 26, 28) или линейную скорость (остальные варианты) тела 1 после его заданного перемещения φ₁ = 2π рад или s₁ = 2 м. Движение начина­ется из состояния покоя.

Рисунок 28.1. –Расчетные схемы к задаче 6

1.6.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

,

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии системы.

Формулы для подсчёта кинетической энергии твёрдого тела в различных видах его движения.

Тело движется поступательно, скорости всех точек твёрдого тела одинаковы и равны скорости центра масс тела, поэтому кинетическая энергия равна:

,

где М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с;

Тело вращается вокруг неподвижной оси, кинетическая энергия равна:

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения тела, кг·м²; - угловая скорость вращения тела,1/c;

Тело совершает плоское движение. При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через цент масс и перпендикулярной плоскости движения.

,

где J_Сz^' – момент инерции тела относительно оси вращения Сz^', кг·м²; - угловая скорость вращения тела,1/c; М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

При решении задач полезно знать моменты инерции некоторых тел.

1. Момент инерции цилиндра:

2. Момент инерции ступенчатого шкива:

3. Момент инерции блока, масса которого равномерно распределена по ободу:

Работа сил, приложенных к твердому телу.

1. Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

2. Работа силы тяжести равна произведению силы на величину вертикального перемещения и имеет положительное или отрицательное значение. Величина работы силы тяжести положительная, когда векторы силы тяжести G и вертикального перемещения h_c совпадают, т.е. работа положительная при опускании точки и отрицательная при подъеме.

А=± Mgh_c,

где М – масса материальной системы, кг; h_c – вертикальное перемещение центра масс, м; g– ускорение свободного падения, м/с².

3. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна

А=± M^П(φ-φ₀),

где M^П- момент пары сил, приложенной к телу, Нм;

φ-φ₀ – значение конечного угла поворота тела.

Работа положительна, если направление момента совпадает с направлением вращения тела.

4. Работа силы трения: А= - F_тр·S, где S- перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

5. Работа линейной силы упругости пружины: А=0,5с∙(λ²₀ - λ²₁), где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ₀> λ₁ и отрицательна при λ₀< λ₁.