1.6.4. Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы)

1. Что называется кинетической энергией материальной точки?

2. Напишите формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном, вращательном и плоском его движениях.

3. Как вычисляется работа силы упругости и силы тяжести?

4. Как определяется работа постоянной по модулю и направле­нию силы на прямолинейном перемещении?

5. Что называется мощностью силы?

6. Как определяется работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

7. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме (в форме мощностей).

8. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме.

Задача 7. Изучение движения механической системы с применением общего уравнения динамики

1.7.1. Содержание задания

Для приведенных на схемах 1-30 (рисунок 30.1) механических си­стем опре­делить указанное на схеме угловое ускорение или линей­ное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — ради­ус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэф­фициент трения скольжения, f_к — коэффициент трения качения.

Рисунок 30.1. –Расчетные схемы к задаче 7

1.7.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач

При движении механической системы в каждый момент времени сумма элемен­тарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.

, (*)

где - активные силы,- силы инерции.

Уравнение (*) называют общим уравнением динамики, так как из него при различных дополнительных предположениях могут быть получены дифференциальные уравнения движения механиче­ской системы, общие теоремы динамики и т.п. В координатной форме уравнение (*) записывается в виде

,

где F_kx, F_ky, F_kz - проекции активных сил на координатные оси; ,,- проекции сил инерции;,,- вариации координат точек приложения сил.

Задачи с помощью общего уравнения динамики рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Определить число степеней свободы s рассматриваемой системы.

2. Выбрать независимые величины (обобщенные ко­ординаты), с помощью которых можно однозначно задать положение системы, т.е. назначить параметры, относительно которых будут составляться дифференциальные уравнения движения.

3. Изобразить на рисунке активные (задаваемые) силы и реакции неидеальных связей.

4. Приложить к телам (массам) системы силы инерции, напра­вив их в сторону, противоположную соответствующим ускорениям.

5.Сообщить одной из точек системы возможное перемещение, изобразив его на расчетной схеме:

а) если в качестве обобщенной координаты выбрана линейная величина, то возможное перемещение следует сообщить той точке системы, положение которой определяет эта координата;

б) если в качестве обобщенной координаты принята угловая величина, то возможное перемещение следует сообщить тому телу, положение которого определяет эта координата;

6. Изобразить на расчетной схеме векторы возможных переме­щений точек приложения сил, указанных в п. 3 и 4.

7. Составить общее уравнение динамики; для этого следует вычислить и приравнять нулю сумму элементарных работ активных сил, реакций неидеальных связей и сил инерции на возможном пе­ремещении системы.

8. Подставить в уравнение п. 7 формулы для сил инерции из п. 4.

9. Выразить возможные перемещения точек приложения сил че­рез возможное перемещение, соответствующее выбранной координате системы.

10. Выразить ускорения точек приложения сил через обобщен­ное ускорение (вторую производную от обобщенной координаты по времени).

11. Подставив формулы, полученные в п. 9 и 10, в уравнение п. 8, получить после простых преобразований дифференциальное уравнение движения системы.

12. Дальнейшие действия зависят от цели, поставленной в задаче: а) решение закончено, если требовалось составить дифференци­альное уравнение движения;

б) если требуется найти закон движения системы, то далее следует проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях;

в) если в задаче требуется определить ускорение какой-либо точки или угловое ускорение какого-либо тела (такая задача, как правило, ставится для систем, движущихся под действием постоян­ных сил), то искомую величину легко найти из полученного диффе­ренциального уравнения.