Задача 1. Расчет бруса при центральном растяжении (сжатии)

2.1.1. Содержание задания

Ступенчатый брус нагружен силами и, направленными вдоль его оси (рисунок 33.2). Заданы длины участковa,b,cи площади их поперечных се­че­­нийи. Модуль упругости материалаМПа, предел текучестиМПа и запас прочности по отношению к пре­делу теку­чести.

Требуется:

1) построить эпюры продольных сил , напряженийи про­дольных пе­­ремещений;

2) проверить, выполняется ли условие прочности.

Рисунок 33.2. – Расчетные схемы к задаче 1

Таблица 2.2.1 – Входные данные для задачи 1

Номер варианта	Номер схемы	P1, КН	P2, КН	P3, КН	a, м	b, м	c, м	F1, М2	F2, М2
1	1	40	90	100	0,3	0,5	0,6	5	10
2	2	45	80	120	0,3	0,5	0,6	4	12
3	3	50	85	110	0,4	0,6	0,4	6	14
4	4	35	70	120	0,4	0,5	0,6	5	15
5	5	25	45	100	0,4	0,3	0,7	6	12
6	6	30	70	130	0,5	0,5	0,5	10	14
7	7	40	60	100	0,6	0,8	0,9	12	16
8	8	50	100	120	0,5	0,9	0,8	12	14
9	9	40	120	110	0,8	0,6	1,0	12	18
10	10	45	125	115	0,7	0,5	0,9	10	14
11	1	50	130	125	0,4	0,8	0.7	14	16
12	2	55	135	145	0,7	1,0	0,9	10	12
13	3	60	140	150	0,7	1,1	0,6	14	18
14	4	65	145	155	0,8	1,2	0,7	16	20
15	5	70	150	160	0,3	0,7	0,6	14	18
16	6	40	100	100	0,4	0,5	0,7	12	14
17	7	50	80	90	0,6	0,7	0,8	16	18
18	8	55	85	95	0,8	0,5	0,8	14	12
19	9	75	95	65	0.8	0,7	0,4	12	18
20	10	55	95	75	0,4	0,6	0,8	14	16
21	1	60	85	45	0,8	0,7	0,5	10	14
22	2	75	85	95	0,4	0,5	0,6	6	10
23	3	25	35	45	0,4	0,7	0,3	8	12
24	4	30	40	50	0,8	0,6	0,5	10	18
25	5	60	80	90	0,5	0,6	0,7	12	14
26	6	70	80	90	0,7	0,7	0,5	10	18
27	7	55	85	95	0,5	0,6	0,7	12	14
28	8	75	95	85	0,7	0,7	0,5	14	18
29	9	45	50	60	0,5	0,3	0,8	16	18
30	10	100	50	70	0,4	0,5	0,6	18	10

2.1.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач

Растяжением (сжатием)называется вид деформации, при котором в попе­речных сечениях бруса возникают только продольные силы, напра­вленные вдоль его оси, все остальные внутренние усилия равны нулю.

Продольная или нормальная сила Nсчитаетсяположительной при рас­тяжении иотрицательнойпри сжатии. Ее величина может быть найдена с помощью метода сечений: она чис­ленно равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Действующая в поперечном сечении продольная сила Nравномерно рас­пределяется по всему сечению и, как следствие этого, нормальные напря­жениятакже равномерно распределяются по всему сече­нию.

Их величина определяется по формуле

,

где N- продольная сила в поперечном сечении;

F- его площадь.

(В некоторых учебниках и учебных пособиях площадь обо­зна­чается латинской буквой А).

В системе СИ сила выражается в ньютонах, площадь поперечного сече­ния - в квадратных метрах (м²), нормальное напряжение - в паскалях (Па).

Абсолютное удлинение бруса при растяжении определяется по формуле

где l- начальная длина бруса;

l_к- длина бруса после деформации.

Относительное удлинение бруса (относительная продольная дефор­мация)

.

При растяжении l> 0 и> 0, при сжатии эти величины отрицательны.

Абсолютное поперечное сужение

где b- первоначальный поперечный размер бруса;

b_к- величина поперечного размера бруса после нагружения.

Относительное поперечное сужение (относительная поперечная дефор­мация)

.

Абсолютная величина отношения , обозначаемая, называетсякоэф­фициентом Пуассона. Она является постоянной для каждого материала иха­­рак­теризует его упругие свойства:

Между нормальным напряжением и относительным удлинением суще­ствует прямая пропорциональная зависимость, называемая законом Гука

,

где E- коэффициент пропорциональности (модуль упругости первого ро­­­да или модуль Юнга).

Модуль упругости- это физическая характеристика материала, измеряе­мая в тех же единицах, что и нормальное напряжение.

Учитывая, что и, можно записать выражение для вычисления абсолютного удлинения бруса в виде­

.

Для ступенчатого стержня и (или) стержня с несколькими продольными нагрузками удлинение подсчитывается как алгебраическая сумма удли­не­ний участков бруса, в пределах которых N,E,F постоянны:

.

Если же величины NиFизменяются по длине бруса, его абсолют­ное уд­­­­­­­­­­ли­не­ние вычисляется по формуле

Используя соотношение _max [], называемое условием прочности, можно решатьтри основных задачи сопротивления материалов.

1.Подборка сечения растянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена. Расчетная формула в этом случае имеет вид

,

где N- продольная сила в опасном сечении бруса (сечении, в котором действует максимальное нормальное напряжение);

F- площадь поперечного сечения бруса;

[] - допускаемое напряжение материала бруса.

Отсюда определяется необходимая площадь его сечения

.

Зная форму сечения и его площадь, можно определить линейные раз­ме­ры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стан­дарт­ный про­филь: уголок, швеллер, двутавр и т. д.

Допускаемое напряжение [] либо задается зара­нее, либо находится по формуле

,

где _опасн_т- предел текучести для пластичных материалов;_опасн- временное сопротивление для хрупких материалов;

n- запас прочности материала.

2. Определение допускаемой нагрузкипри известных прочностных свой­ства материала и площади поперечного сечения бруса.

Расчетная формула, вытекающая из условия прочности

,

позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, дей­ствующей в опасном сечении и, следовательно, величину внешних наг­ру­зок, приложенных к брусу.

3. Проведение поверочного расчета прочности бруса.

При поверочном расчете нагрузки, размеры и материал, из которого из­го­тов­лен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормаль­ное на­пряжение в опасном поперечном сечении и сравнивается с допус­ка­емым:

.

Если _max[], то прочность бруса обеспечена.