1.3.3. Пример решения задачи

Лебедка (рисунок 10.1), поднимающая груз по наклонной плоскости, состоит из двух валов 1 л 2 с шестернями (зубчатыми колесами), числа зубьев которых равны соот­ветственно z₁ = 12 и z₂= 48. К валу 2 прикреплен барабан радиусом r= 0,3 м, на который наматывается грузовой трос. Вал 1 вращается ускоренно с угловым ускоре­нием ε₁ = 8 с^–2. Определить скорость, ускорение и переме­щение груза, а также ускорение точки В барабана в мо­мент времени t = 1 с (показать на схеме). В начальный момент времени систе­ма находилась в покое.

Рисунок 10.1

Решение.

Найдем угловую скорость ω₁ ведущего вала 1 из условия, что оно вращается с угловым ускорени­ем ε₁ = const, учитывая, что .

Интегрируя послед­нее уравнение по времени, получаем .

Постоянную интегрирования получаем из начального условия: при t = 0 ω₁ = 0 (система находилась в покое), следовательно,C₁ = 0.

Итак, угловая скорость вала 1 определяется уравнени­ем

.

При t = 1с получаем .

Шестерни 1 и 2 взаимодействуют без проскальзыва­ния. Поэтому скорости точек их касания (точка А) будут одинаковы:

.

Отсюда находим угловую скорость ω₂ вала 2, учитывая, что

:

.

Угловое ускорение вала 2 равно .

Поскольку трос нерастяжим и относительно барабана не проскальзывает, то скорость груза v будет равна скоро­сти любой из точек на ободе барабана, в частности, скоро­сти точки В:

v = v_B = ω₂r = 0,6t=|_{t=1 c} =0,6 м/с.

Ускорение точки В равно векторной сумме вращательного (касатель­ного) и центростремительного (нормального) ускорений: .

Направление вращательного ускорения определяется направлением углового ускорения ε₂, а его модуль равен м/с². Центростремительное ускорение на­правлено к оси вращения вала 2 и равно по модулю м/с².

Модуль ускорения точки В

м/с².

Ускорение груза можно найти, взяв производную по времени от его скорости, так как это касательное ускоре­ние: м/с².

Перемещение груза определяется интегрированием модуля скорости по времени:

м.

1.3.4. Вопросы для самоконтроля (защиты задачи)

1. Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?

2. Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно задается?

3.Дайте определения угловой скорости и углового ускорения.

4.Как определить вращательную скорость точки при вращении тела?

5.Как определяются вращательное и центростремительное ускорения при вращении тела?

6. Что представляет собой передаточное число передачи и как определяется передаточное число сложной передачи?

Задача 4. Определение кинематических характеристик плоского механизма

1.4.1. Содержание задания

Для представленных на схемах 1— 30 (рисунок 11.1) механизмов, состоя­щих из шатуна АВ длиной 2 м и двух ползунов, по заданным величинам скорости и ускорения ползуна А определить ско­рость и ускорение ползуна В и средней точки С шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна.

Рисунок 11.1. – Расчетные схемы к задаче 4

1.4.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач

Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называет­ся такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Движение тела определяются тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела:

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

,

где - скорость полюса;

- скорость вращения точки вокруг полюса.

Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка.

При плоском движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей.

Способы определения мгновенного центра скоростей.

1. Известны прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигуры А и В (рисунок 12.1). В этом случае мгновенный центр скоростей фигуры определится как точка пересечения перпендикуляров к этим прямым, восставленных в точках А и В.

2. Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны и не перпендикулярны АВ (рисунок 13.1), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞).

Рисунок 12.1. Рисунок 13.1 Рисунок 14.1

3. Если плоская фигура катится без скольжения по некоторой неподвижной поверхности (рисунок 14.1), мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения фигуры с поверхностью.

4. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения положения мгно­венного центра скоростей должны быть известны модули скоростей обеих точек А и В (рисунок 15,а, б). Известно, что модули скоростей точек фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.

Рисунок 15.1

Следовательно, концы скоростей точек А и В лежат на прямой, проходящей через мгновенный центр скоростей. Пересечение этой пря­мой с прямой АВ определяет мгновенный центр скоростей фигуры.

Если скорости точек А и В плоской фигуры равны, параллельны между собой и перпендикулярны АВ (рисунок 15, в), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞), а угловая скорость фигуры

Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса:

,

а с учетом того, что ,

будет ,

где - ускорение полюса;- вращательное ускорение точки.