1.5.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач

Движение материальной точки массы т под действием систе­мы сил (), происходящее относительно инерциальной системы отсчета, описывается уравнением

, (1)

где - ускорение точки. Если точка является несвободной, то в правую часть соотношения (1) входят также реакции связей.

Поскольку , где- радиус-вектор точки, то уравнение (1) можно записать в виде

. (2)

Уравнение (2) называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме. При решении конкретных задач динамики материальной точки уравнение (2) записывается соответственно избранной системе координат.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеют вид

, (3)

здесь - проекции ускорения точки, a- проекции силына соответствующие оси координат.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника записываются в форме

, (4)

где s - дуговая координата; - касательное уско­рение точки;v - модуль скорости; ρ - радиус кривизны траектории в данной точке; - проекции силына касательную τ, главную нормаль пи бинормаль b соответственно.

С помощью дифференциальных уравнений движения матери­альной точки можно решать первую и вторую задачи динамики.

Первая (прямая) задача. Зная закон движения и массу точки, определить силу, действующую на точку.

Вторая (обратная) задача.

Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки.

Начальные условия движения точки в декартовых осях — это координаты точки и проекции начальной скоростина эти осив момент време­ни, соответствующий началу движения точки и принимаемый обычно равным нулю.

Решение задач сводится к составлению диффе­ренциальных уравнений (или одного уравнения) движения ма­териальной точки и их последующему решению путем непо­средственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

Вторую задачу рекомендуется решать по следующему

алгоритму:

1. Составить расчетную схему.

2. Изобразить на расчётной схеме материальную точку в произ­вольном положении, действующие на неё активные (внешние) силы, реакции связей; провести координатные оси.

3. Записать начальные условия движения.

4. Составить дифференциальные уравнения движения точки.

5. Построить общее решение дифференциальных уравнений движения.

6. Определить постоянные интегрирования по начальным усло­виям.

7. Подставить постоянные интегрирования в общее решение, оп­ределить искомые величины.

8. Проанализировать полученные результаты.

1.5.3. Пример решения задачи

Материальной точке сообщается начальная скорость v₀ = 7 м/с,в результате чего она проходит по горизон­тальной шероховатой плоскости расстояние l = 10,1 м и падает с нее. Коэффициент трения скольжения f = 0,2. Определить скорость v, длину полета L, глубину падения Н точки в мо­мент t = 5 с после начала движения. Сопротивление среды не учитывать (рисунок 25.1).

Рисунок 25.1 Рисунок 26.1

Решение.

Рассмотрим движение точки на прямолинейном участке АВ (рисунок 26.1). Определим скорость точки в кон­це этого участка. Начало осей коор­динат совместим с началом движе­ния. Начальные условия при t = 0 имеют вид

На основании принципа освобождаемости от связей рассматриваем точку как свободную, на которую действует сила тяжести mg, нормальная ре­акция N и сила трения F_mp.

Дифференциальные уравнения движения материаль­ной точки в декартовых осях:

,

в данном случае с учетом того, что и, принимают вид

Отсюда N = mg. Используя закон Кулона для силы трения F_mp = fN, получаем F_mp = fmg. Тогда

. (1)

Разделим переменные t и v_x в уравнении (1) и проин­тегрируем его, пользуясь неопределенными интегралами

.

Учитывая начальное условие, определим постоянную интегрирования С₁ = v₀. Тогда формула изменения скоро­сти точки на участке АВ принимает вид

. (2)

Для того чтобы вычислить время t₁ преодоления ма­териальной точкой пути АВ и ее скорость в момент про­хождения точки В, необходимо использовать условие |АВ| = l = 10,1 м.

Перепишем уравнение (2), учитывая, что v_x =dx/dt,

.

Разделив здесь переменные и проинтегрировав это уравнение, получим

,

откуда

.

Из последнего уравнения можно определить время, когда величина х будет равна l. Решая квадратное уравне­ние

или

,

отыски­ваем два значения: tс и t₁ = 5,1 с. Второе значение времени физически не реализуется, так как предполагает дальнейшее движение точки по горизонтали, а затем воз­врат ее в точку B, что невозможно, поскольку после точки В материальная точка перестает взаимодействовать с по­верхностью и начинает падать.

Таким образом, время t₁= 2 с и, подставляя его в фор­мулу (2), находим скорость точки в конце участка АВ: м/с.

Теперь из уравнения (2) определяем время

.

Рассмотрим далее криволи­нейное движение точки на участ­ке ВС (рисунок 27.1). Начало отсчета времени совме­стим с моментом начала падения. Начальные условия в выбранных осях координат принимают вид:

при t = 0

х = 0; = 3,1м/с; у = 0; = 0.

Рисунок 27.1

На точку действует только сила тяжести mg. Запи­шем дифференциальные уравнения движения точки:

,

или

.

Разделив переменные и проинтегрировав эти уравне­ния, получим

v_x =C₃; v_y=gt + C₄.

В соответствии с начальными условиями постоянные интегрирования равны С₃ = v₁ и С₄ = 0.

Тогда имеем

v_x = v₁ = const, v_y = gt.

Рассматриваемое время свободного падения точки, от­считываемое от положения В, равно t₂ = t – t₁ = 3 с.

Вычислим скорость v₂ точки в момент t₂ = 3 с (поло­жение С на траектории)

v_2x=v₁= 3,1м/с; v_2y = gt₂ = 29,4 м/с;

м/с.

Дифференциальные уравнения движения точки на уча­стке ВС представим в следующем виде:

.

Разделяя переменные и интегрируя эти уравнения, получаем

.

Постоянные интегрирования определяем по заданным начальным условиям (при t = 0 х = 0; у = 0), а именно: С₅ = С₆ = 0.

Уравнения движения точки имеют вид

х = v₁t, у =gt²/2.

При заданномt₂ = 3 с находим дальность полета

L = x(t₂) = 9,3 м

и глубину падения

Н = y(t₂) = 44,1 м.