7. Модели в порядковых шкалах

Модели в порядковых шкалах – это математические модели, связывающие переменные, измеренные в порядковой шкале. Шкала измерения переменных предъявляет определенные требования к виду связей, устанавливаемых в модели, процедуре ее идентификации и определяет характер выводов, получаемых в результате анализа модели.

Современное экономико-математическое моделирование в своей прикладной части в основном ориентировано на получение и анализ количественных данных. Однако проведение строгих рассуждений и построение математических моделей возможны и при отсутствии количественных измерений. Кроме того, лишь небольшая часть исходных данных и выводов экономической науки имеет количественный характер, большинство из них выражено в «слабых» порядковой и номинальной шкалах.

В качестве примера зависимости между переменными в порядковых шкалах можно привести следующие утверждения:

• по мере роста экономики влияние человека на окружающую среду (антропогенная нагрузка) возрастает;

• по мере насыщения потребности индивида в том или ином товаре полезность и ценность этого товара для него уменьшается.

Модели в порядковых шкалах могут использоваться там, где:

• исследователь имеет дело с малоструктурированным объектом, причем хотя бы некоторые его характеристики «размыты» и не поддаются прямому количественному измерению;

• количественные измерения возможны, но не совершенны и весьма существенная их погрешность;

• количественные измерения невозможны или просто не нужны.

На современном этапе развития экономической науки к исследованиям подобного рода относятся:

• изучение взаимодействия социальных, институциональных и экономических процессов;

• анализ экологических проблем;

• глобальные исследования;

• задачи долго- и сверхдолгосрочного прогнозирования.

С формально-математической точки зрения порядковая шкала определяется как шкала, инвариантная относительно взаимно однозначных, монотонных преобразований. Отсюда следует, что свойства зависимости между переменными, измеренными в порядковой шкале, должны быть инвариантны относительно взаимно однозначных, монотонных преобразований этих переменных. Таким свойством обладает монотонная функция, т.е. должна быть зависимость между переменными типа «чем меньше , тем больше» или «чем больше, тем меньше». Главной проблемой в данном случае является определение направления связи между переменными, которое может быть двух видов:

1. прямым («положительным»);

2. обратным («отрицательным»).

Возможны случаи, когда из-за воздействия одной порядковой переменной на другую изменяется направление. Например, эмпирические исследования выявили следующую закономерность:

• рост неравномерности распределения доходов в начале процесса экономического роста приводит к уменьшению дифференциации доходов по мере развития этого процесса;

• экономический спад по мере развития сопровождается ростом дифференциации доходов.

Рассмотрим первый случай. В данном случае необходимо выделить условия, при которых направление воздействия остается неизменным, или каждый раз оговаривать, о каком случае зависимости (прямом или обратном) идет речь.

В случае функции нескольких порядковых переменных возникает необходимость не только определить направление воздействия каждой из зависимых переменных на зависимую, но и упорядочить все возможные комбинации направлений изменения независимых переменных по значению зависимой переменной. Пусть, например, имеется зависимость: экономический рост приводит к увеличению реальных доходов населения, рост численности – к их снижению. Тогда, если установлено, что в большинстве случаев увеличение душевого дохода не сводится к нулю ростом населения, то можно утверждать, что реальные доходы на душу населения увеличиваются по мере перехода от одной ситуации к другой в цепочке:

• «экономический спад и рост численности населения»;

• «экономический спад и уменьшение численности населения»;

• «экономический рост и рост численности населения»;

• «экономический рост и уменьшение численности населения».

Возможен случай, когда исследователь в состоянии не только судить о направлении изменения независимых переменных, но и различать степень их изменения. Например, «значительное», «среднее» или «незначительное» увеличение или уменьшение их значений. В данном случае пространство изменения независимых переменных образует частично упорядоченное множество, на котором один элемент не больше (не меньше) другого элемента, если он не больше (не меньше) его по значениям всех компонент:. Но два различных элемента несравнимы, если по одним компонентам первый элемент не больше второго, а по другим наоборот.

Задание функции на частично упорядоченном множестве заключается в упорядочении этого множества в соответствии с изменением значения зависимой переменной. При этом, как и в случае функции одной переменной, должно выполняться условие монотонности зависимости: если возрастает с увеличением, то для двух элементовитаких, что, следует.

Пространство изменения независимых переменных, измеренных в порядковой шкале, образует решетку, т.е. множество, в котором для любых двух его элементов ивсегда существует нижняя грань, причем

• -нижняя грань меньше элемента ,

• -нижняя грань меньше элемента ,

а также двойственная ей верхняя грань :,. В данном случае операцию взятия нижней грани можно определить как

,

а верхней грани - как

.

Для задания функции порядковой переменной на множестве типа решетки первоначально необходимо задать разбиение пространства изменения независимых переменных на подмножества

такие, что полностью покрывают исходное множество, а любые два элементаииз одного подмножестванесравнимы.

Из этого следует, что верхняя и нижняя грани этих элементов не принадлежат множеству . Предельным случаем подобного разбиения является ситуация, когда каждое подмножествовключает один элемент. На рис. 7.1. представлен возможный случай разбиение пространства изменения двух порядковых переменных:

• , имеющей 3 градации изменения;

• , имеющей 4 градации изменения.

Рис. 7.1. Пример разбиения пространства изменения порядковых переменных.

Следующим этапом задания функции порядковой переменной является упорядочение подмножеств в соответствии с изменением значения зависимой переменной при соблюдении условия монотонности, т.е. определения цепочки

такой, что

для любых элементов

.

В случае если найдутся элементы итакие, что

,

то

.

При этом элементы из одного подмножества считаются одинаковыми по значению переменной.

В итоге, процедура идентификации функции порядковых переменных включает три этапа:

1. определение направления воздействия каждой из независимых переменных на зависимую;

2. разбиение пространства изменения независимых переменных на подмножества несравнимых элементов;

3. упорядочение этих подмножеств в соответствии с изменением значений зависимой переменной.

Идентификация функции порядковых переменных на эмпирических данных предъявляет жесткие требования к имеющейся выборке. Выборка должна полно представлять все поле изменения независимых переменных. В противном случае (если, например, выборка состоит из несравнимых по независимым переменным элементов) исследователь оказывается не в состоянии идентифицировать зависимость. С учетом этого обстоятельства более перспективным в социально-экономических исследованиях является построение моделей в порядковых шкалах с помощью экспертных процедур.

Общая схема построения моделей в порядковых шкалах такова. Эксперт или группа экспертов, специалистов в конкретной области знания, описывает изучаемый объект набором характеристик. При этом предполагается, что эксперт может в той или иной форме сравнивать значения выделенных характеристик и указывать свойства зависимостей между ними. Затем, используя необходимый математический аппарат, проводится исследование модели, и полученные выводы предлагают оценить эксперту. На этой основе эксперт корректирует исходные данные, и процесс повторяется до достижения приемлемых результатов.

При этом в процессе работы эксперт может иметь дело с порядковыми данными в различном их виде – например, он может упорядочивать (ранжировать) набор элементов, сравнивать их попарно и т.п. Однако с ростом размерности исследования возможность работы эксперта с порядками уменьшается. На первый план выходят методы представления и преобразования порядковых данных с помощью более «сильных» количественных шкал.

Поскольку единственным требованием к функции, представляющей зависимость между порядковыми переменными, является свойство монотонности, постольку основными в данном случае являются не столько инструментальные, сколько методические проблемы построения моделей в порядковых шкалах.

Возможна ситуация, когда стадия первоначального упорядочения элементов опущена, и исследователь, используя рассуждения в количественных шкалах, описывает изучаемую систему набором функций количественных переменных, но затем на этой основе делает порядковые выводы. Например, порядок, представленный на рис. 10.7.1., может быть получен, если градациям изменения переменных ибудут поставлены в соответствие возрастающие ряды чиселдляидля. Эксперт, опираясь на свои знания, может указать, что воздействиеинаимеет аддитивный характер. При этом изменениепо сравнению соказывает в 2 раза больший эффект. В итоге, функциязадает такой же порядок изменения значения, как и на рис. 7.1.

Возможно, что в случае количественного представления порядковых данных будут упущены (или, наоборот, привнесены) некоторые особенности изучаемой зависимости, но этот недостаток может быть оправдан экономией времени работы эксперта в процессе идентификации модели. Важная проблема при количественном представлении порядковых зависимостей – избежать «усиления» получаемых выводов: поскольку этап первичного упорядочения опущен, вероятность возникновения у исследователя иллюзии работы с количественными, а не порядковыми шкалами возрастает. Соответственно, повышается вероятность необоснованного «усиления» конечных результатов.

В процессе построения моделей в порядковых шкалах более надежные (хотя одновременно и более грубые) результаты могут быть получены, если для отображения зависимостей используются порядковые функции. В данном случае на переменные модели накладываются следующие требования:

• они должны иметь одинаковое число градаций изменения;

• с содержательной точки зрения – быть сравнимыми друг с другом по своим значениям.

При выполнении этих требований порядковая функция может выглядеть следующим образом. Пусть - переменные, измеренные в порядковой шкале, ивозрастает с увеличением. Тогдаможет принимать значение независимой переменной, стоящей на местев ранжированном ряду значений всех независимых переменных. В этом случае могут выбираться экстремальные значения:

• минимальный элемент ;

• максимальный элемент ;

• различные квантили: децили, квартили, медиана и т.п.

При этом от выбора номера элемента , значение которого определяет величину переменной, зависит характер строящейся функции. Так, чем больше номер, тем «сильнее» воздействие независимых переменных на зависимую.

С точки зрения методики построения и исследования моделей в порядковых шкалах наиболее разработанным в современных условиях является Дельфийский метод. Одной из общепринятых форм построения моделей в порядковых шкалах служат тесты, использующиеся в социальных, экономических и психологических исследованиях. В процессе тестирования эксперту (испытуемому) предлагается множество вопросов и набор возможных ответов на них. Каждому ответу приписывается заданное число, входящее в функции, с помощью которых рассчитываются отдельные промежуточные и конечные характеристики. И хотя эти функции имеют количественный вид, на их основе делают лишь порядковые выводы о степени (интенсивности) выраженности изучаемых свойств. В экономической науке инструментарий порядковых шкал традиционно используется для построения и анализа функций полезности (выбора, предпочтения), а также целевых функций субъектов различного уровня и вида.