45

Власов м. П.

конспект лекций по дисциплине ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Только себе и бесплатно

ТЕМА № 16

Моделирование динамических процессов

для студентов всех форм обучения

Содержание

Стр.

1.Динамические системы и модели …………………………………………… 2

2.Системная динамика ………………………………………………………… 8

3.Динамическая модель инвестиционной деятельности инфраструктурной организации ……………………………………………. 12

4. Определение объема спроса на основе учета особенностей использования продукции с длительным циклом изготовления …………………………… 24

5.Управление развитием селитебных территорий крупных городов …….. 24

6.Динамическое программирование в производственном менеджменте … 36

7.Задача распределения капиталовложений ………………………………... 39

Санкт-Петербург 2004-2012

1. Динамические системы и модели

Динамическая система или иначе эволюционная система, в широком смысле произвольная система, изменяющаяся во времени. Ее состояние в момент времени может характеризоваться упорядоченным набором величин, принимающих некоторые значения. Используется следующая геометрическая терминология:- мерный вектор состоянияназывается фазовой точкой, а-мерное пространство- фазовым пространством. Фазовая точкас изменением времениописывает в фазовом пространстве траекторию, которая называется фазовой траекторией. Таким образом, фазовое пространство динамических систем есть пространство, которому принадлежат все (допустимые) состояния динамической системы, т.е. фазовое пространство – это пространство состояний. В прошлом состояния системы называли фазами системы, отсюда термин «фазовое пространство».

Динамический подход применительно к экономической системе означает исследование ее развития в отличие от изучения ее состояния в определенный момент времени при статическом подходе и характерное отличие этого подхода заключается в явном присутствии такой переменной как время. Тенденция развития экономико-математического моделирования направлена на увеличение роли динамического подхода.

К динамическим системам относится любая система, которая изменяется во времени. Математически это принято выражать через переменные модели. Процесс изменения переменных характеризуется траекторией:

,

где - это переменные модели, которые являются функциями времени.

Среди таких систем наиболее простыми являются линейные динамические системы, в которых связи между исходными данными, параметрами состояния и результатами решения задачи носят характер линейных зависимостей.

В экономико-математических моделях динамические системы могут отражаться двояко:

1. с помощью описания состояния системы в определенные моменты времени, т.е. получаются как бы моментальные снимки, называемые статическими моделями;

2. с помощью собственно динамических моделей, описывающих процесс развития системы.

Примером первого вида молей служит межотраслевой баланс (статический), второго – модели теории экономического роста.

Динамические модели – это модели, описывающие экономический процесс в развитии, в отличие от статических, характеризующих состояние системы в определенный момент времени. Необходимость в динамической модели возникает, если как минимум одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

Динамические народно-хозяйственные и региональные модели с дискретным и непрерывным временем (например, однопродуктовые и двухпродуктовые модели, межотраслевые модели, абстрактные модели) – важные частные случаи динамических систем.

В экономико-математическом моделировании большой теоретический и практический интерес представляют результаты анализа поведения во времени фазовых траекторий динамических моделей экономики.

Первоначально под динамической системой понимали систему, изменение которой во времени описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

(1.1.)

Правые части системы (1.1.) не содержат в явном виде времени. Такие системы называются автономными.

При этом под теорией динамических систем понимали теорию вида (1.1.), которая называлась также качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений [10]. Большое место в этой теории занимают вопросы устойчивости и асимптотической устойчивости положений равновесия систем вида (1.1.). Для того, чтобы эта система имела постоянное решение , необходимо и достаточно, чтобы точкаобращала в нуль правые части системы (1.1.), т.е.. Вообще говоря, качественной называется теория, если она представляет совокупность результатов о характере поведения (изменений) решений, которые были получены без явного знания этих решений.

Динамические модели в экономике описывают изменение моделируемой системы во времени. Поэтому время в динамических моделях представляется явно – либо как непрерывная величина, либо дискретно, конечным набором или бесконечной последовательностью дискретных значений.

В первом случае для величин, известных и неизвестных, меняющихся во времени, применяют обычные обозначения для математических функций (например , где- время,- экономический показатель).

Во втором случае, как правило, пишут или,, но иногда специфика модели требует вводить, где- более сложно устроенное подмножество множества целых неотрицательных чисел (например, с постоянным шагом больше 1 или непостоянным шагом). Единицы измерения дискретного времени весьма разнообразны (час, смена, сутки и др. – в календарном планировании производства; сутки, неделя, месяц и др. – в моделях управления запасами, год – в моделях перспективного планирования). При этомв непрерывном случае и() в дискретном называется периодом (а также плановым, прогнозным, анализируемым и пр. периодом). Период называется конечным, если, и бесконечным при. При этом в случае непрерывного времени период – замкнутый интервал, т.е. бесконечное множество точек временной оси. Не для всех величин в динамических моделях обязательно предполагается возможность изменения во времени, часть из них может оказаться «закрепленной», если величина отнесена к рассматриваемому периоду в целом или к конкретному моменту, чаще всего к последнему (наибольшему) значению, если период конечен.

Изменения моделируемой системы во времени могут быть сугубо количественными либо структурными (качественными).

Количественные изменения моделируются в случаях, когда ставится задача описать функционирование системы при рутинном (штатном) выполнении ею своих функций (в календарном планировании, управлении запасами и пр.).

Структурные изменения отображают развитие системы, прежде всего, в перспективном планировании и прогнозировании. В этом случае по преимуществу интересуются возможным распределением инвестиций с целью модификации качественных характеристик системы – расширения производственных мощностей, пропускной способности, создания новых элементов и т. п.

Динамические модели классифицируются по всем обычно используемым в экономико-математическом моделировании основаниям:

• дескриптивные – прескриптивные (нормативные);

• дискретные – непрерывные (в отношении характера изменения переменных модели и зависимости производных величин от них, а не от времени);

• детерминистские – стохастические и т.д.

Динамические модели противопоставляются статическим моделям.

Существует два принципиально различных подхода к построению таких моделей. Первый оптимизационный, состоящий в выборе из числа возможных траекторий развития оптимальной траектории, например, обеспечивающей максимальную прибыль. Второй подход заключается в исследовании равновесия в экономической системе. В этом случае, переходя к экономической динамике, используют понятие «равновесная траектория», под которой понимают уравновешенный сбалансированный рост. Равновесная траектория представляет результат взаимодействия множества факторов экономической системы.

Само понятие равновесие относится к различным ситуациям и характеризуется взаимодействием разнонаправленных сил, воздействие которых взаимно погашается таким образом, что наблюдаемые свойства системы остаются неизменными.

Среди многочисленных определений равновесия экономической системы наиболее распространены два:

1. исходит из рассмотрения свойств системы;

2. исходит из рассмотрения воздействующих сил.

Состояние равновесия – это такое состояние системы, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов. В этом смысле синонимом термина «равновесие» является сбалансированность (балансовая модель, система уравнений Вальраса).

Состояние равновесия это такое состояние, при котором ни один из многих взаимосвязанных участников системы не заинтересован в изменении этого состояния, так как при этом он не может ничего выиграть, но может проиграть (оптимальность по Парето, теория игр).

Равновесие экономической системы рассматривается двояко: как статическое (положение состояния), и динамическое (уравновешенный, или сбалансированный процесс развития).

Понятие равновесия тесно связано с понятием устойчивости системы. Если при внешнем воздействии на систему неизменность ее свойств сохраняется, то равновесие считается устойчивым, в противном случае – неустойчивым. Равновесие (рыночная сбалансированность) называется локально устойчивым, если оно достигается, начиная с некоторого набора цен, достаточно близкого к точке равновесия. Равновесие считается глобально устойчивым – если оно достигается независимо от начальной точки.

Часто в экономико-математическом моделировании, равновесие отождествляют с понятием оптимума. Однако равновесие это необходимое, но не достаточное условие оптимальности. Таким образом, в экономической системе равновесие может устанавливаться на разных уровнях (точках равновесия), в том числе и на оптимальном.

Равновесный сбалансированный рост - понятие теории экономического роста, рассматриваемого с двух точек зрения. Первая точка зрения заключается в том, что это такой рост экономической системы, при котором темп прироста запасов всех продуктов на протяжении рассматриваемого промежутка времени постоянный. При этом разграничивают понятия сбалансированного роста без равновесия, т.е. с избыточными запасами, и, собственно равновесного роста.

Вторая точка зрения на это понятие предполагает, что важны не одинаковые темпы развития всех подразделений фирмы или секторов экономики, а внутренняя согласованность этих темпов друг с другом. В этом представлении понятия сбалансированного и равновесного роста совпадают.

В общем виде динамические модели сводятся к описанию:

• начального состояния системы;

• технологических способов производства;

• критерия оптимальности.

Каждый способ определяет множество и последовательность использования ресурсов, позволяющих в единицу времени произвести заданный набор товаров.

Описание динамической модели может быть выполнено:

• с использованием временных рядов, поведение которых описывается с помощью уравнения тренда, а также сезонных и случайных переменных. Иногда выделяется циклическая переменная. В качестве экзогенных переменных могут выступать макроэкономические зависимости, а в качестве эндогенных – темпы роста, показатели эффективности;

• с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем алгебраических уравнений.

С помощью динамических моделей определяются траектории развития экономических систем, ее состояний в заданные моменты времени, проводится анализ системы на устойчивость и анализ структурных сдвигов.

Характерной особенностью динамических моделей является представление времени в виде дискретного параметра. Обычно временные периоды обозначаются и принимают значение 1,2,3,…. Обычно предполагается, что длительность планового периода равна единице. Но часто от этого правила отступают, и длительности планового периода приписывают некоторую продолжительность, равную, например, числу рабочих дней в месяце, недели. Тогда продолжительность планового периода может быть разной.