42

Власов м. П.

конспект лекций по дисциплине ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Только себе и бесплатно

ТЕМА № 11

Распределительные оптимизационные модели

Содержание

Стр.

1.Постановка задачи …………………………………..………………..………. 2

2.Задача максимизации выпуска в заданном ассортименте ………………….. 8

3.Задача загрузки оборудования ……………………………………………… 10

4.Модели распределения транспортных потоков ……………………………. 12

5.Простейшая задача размещения на сети .…………………………………... 16

6.Математические модели спроса и потребления ……………………..……. 20

7.Модели равновесия при неравновесных ценах …………..………………... 24

8.Модели рационируемого равновесия …………………………………….… 29

9. Особенности метода решения распределительной задачи ……………...... 34

10. Задачи с разрывной целевой функцией ………………………………….. 36

Литература ……………………………………………………………………... 36

Санкт-Петербург 2002 - 2012

1.Постановка задачи

С распределением мы сталкиваемся гораздо раньше, чем с любым другим процессом. В детстве мы видим, как этим занимаются наши родители, когда уговаривают съесть ложку каши за папу, за маму, за бабушку и т.д. Затем мы делим игрушки между сверстниками. Становясь взрослее, нам приходится наблюдать не только сам процесс распределения, но и его последствия, которые могут быть более серьезными, чем это можно предположить. Распределительные процессы характерны для всех уровней социальной иерархии и касаются каждого из нас. В экономике распределением ресурсов, как правило, занимается менеджер. Составной частью функций управления, которым занимается менеджер, является планирование, которое как раз и является распределительным процессом, включающим такие частности, как распределение персонала и его обязанностей, производственных заданий и ресурсов, необходимых для их выполнения. Последствием такого распределения является результативность работы, как предприятия в целом, так и отдельных подразделений. Поэтому важность задач распределения ресурсов нельзя переоценить.

Распределение ресурсов – общее понятие теории исследования операций и связано с материально-вещественной, производственной стороной экономики. Обычно под термином «распределением ресурсов» понимается распределение наличных ресурсов по разным работам с учетом применяемой технологии, по направлениям конечного использования. Значимость этой проблемы определяется:

1. ограниченностью ресурсов;

2. разной эффективностью использования ресурсов в зависимости от направления использования.

Таким образом, эффективность деятельности экономической системы зависит не только от количества ресурсов, но и от их распределения. Целью большинства экономико-математических задач, решаемых в сфере планирования деятельности фирмы, является оптимальное распределение ресурсов.

Лауреат Нобелевской премии Т. Купманс выдвинул фундаментальную «преинституциональную» теорию распределения ресурсов. Смысл этой теории заключается в том, что в любом обществе, независимо от его институциональной структуры, прежде всего, решается задача оптимального распределения ресурсов этого общества, а затем на нее накладывается те или иные особенности, связанные с его устройством.

Распределительные задачи образуют отдельный класс экономико-математических задач, связанных с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Если ресурсов достаточно, чтобы выполнить каждую работу наиболее эффективно, проблемы не возникает. А если ресурсы в избытке, то рентабельность фирмы низка. Поэтому для рентабельной работы фирмы необходимо, чтобы наблюдался баланс между имеющимися у фирмы и требующимися для выполнения предполагаемой производственной программы ресурсами. Но для работы большинства фирм характерно постоянное изменение производственной программы, что приводит к нарушению баланса между требующимися и имеющимися ресурсами, как в целом в плановом периоде, так и в более коротких по продолжительности планово-учетных периодах. В случае дефицита даже одного ресурса распределение ресурсов между работами приводит к изменению эффективности выполнения всех работ. Поэтому решение распределительной задачи заключается в отыскании наилучшего распределения ресурсов, при котором либо максимизируется общий доход или результат, выраженный в какой-либо форме, либо минимизируются затраты.

Такие задачи нередко приводятся к линейному виду, причем часто за счет упрощений, и тогда эти задачи решаются методом линейного программирования. Если через обозначить объем ресурса, выделенного для выполнения работы, то математическая формулировка распределительной задачи следующая: найти максимум или минимум целевой функции (максимум эффектаили минимум затрат) при выполнении ограничений по объему ресурсов и потребности в них. При этом различают два вида таких задач:

1. сбалансированную (закрытую) – задача, в которой общий объем ресурсов равен общей потребности в них;

2. несбалансированную (открытую) – задача, в которой и требуется не только распределить ресурсы по работам (потребителям), но также решить какие работы не следует выполнять (т.е. каких потребителей не следует удовлетворять), если ресурсы меньше потребностей, либо какие ресурсы не использовать – противоположном случае.

Таким образом, распределительная задача – это специальная линейная задача транспортного типа, имеющая многочисленные приложения к планированию, управлению и проектированию. Каждый столбец матрицы условий распределительной задачи содержит не более двух отличных от нуля элементов двухкомпонентная задача. В формальной постановке распределительной задачи требуется найти минимум

(1.1.)

при условиях

, , ………………. (1.2.)

, , (1.3.)

, ,(1.4.)

В условиях (1.2.), (1.3.) равенства могут быть заменены неравенствами.

Рассмотренные задачи относятся к области линейного программирования, в которой разрабатывается теория и численные методы нахождения экстремума линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств и неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования приводится широкий круг вопросов планирования экономических и технико-экономических процессов, где отыскивается наилучшее (оптимальное) решение. Возникновение и развитие линейного программирования непосредственно связано с экономической проблематикой. Термин «линейное программирование» появился в 1951 году в работах американских ученых (Дж. Б. Данциг, Т. Купманс). Слово «программирование» выбрано потому, что набор переменных, подлежащих нахождению, обычно определяет программу (план) работы некоторого экономического объекта, чаще всего это касается распределения ресурсов.

В 30-е годы XX века в Ленинградском университете (Л. В. Канторович) были проведены первые исследования по линейному программированию:

• основные задачи и приложения;

• критерии оптимальности;

• геометрическая интерпретация методов нахождения оптимального решения;

• экономическая трактовка результатов математического анализа.

Наиболее интенсивно линейное программирование развивалось в 1955-65 гг. в СССР и США, когда оно было одним из наиболее «модных» разделов прикладной математики.

В экономике экстремальные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, с возможностью применения различных типов сырья и материалов, технологий, расстановки средств для получения той же продукции, когда существенен выбор варианта, наилучшего по некоторому критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией. Применение моделей линейного программирования опирается на возможность рассмотрения производственного плана для объекта в расчлененной форме, составленного из элементарных производственных процессов, которые могут применяться с различной кратностью (интенсивностью, в различном объеме). Каждый план характеризуется набором этих интенсивностей, которые нужно выбрать так, чтобы были выполнены необходимые ограничения (требования) – тогда план называется допустимым, а если при этом целевая функция достигает экстремального значения – оптимальным.

К характерным типам задач линейного программирования можно отнести:

1. Задача о комплексном использовании сырья. Исходное сырье или материал может перерабатываться различными технологическим способами, в каждом случае получается в различных сочетаниях несколько видов продукции. Требуется найти набор интенсивностей этих способов, при котором заданные объемы конечной продукции получились бы с наименьшими затратами исходного материала. Частным случаем является задача раскроя материала.

2. Задача о загрузке оборудования, которая будет подробно рассмотрена ниже.

3. Задача о смесях или диете, которая заключается в подборе таких соотношений исходных ингредиентов, чтобы обеспечить выпуск заданной номенклатуры продукции в определенном объеме при минимальных затратах. Задача встречается при составлении кормовых рационов в сельском хозяйстве, при составлении плана выпуска тканей, при определении состава шихты (смеси) при выплавке металлов, изготовлении стекла и т.д.

4. Задачи размещения, включая транспортную задачу, которые будут рассмотрены в других темах (см. пример 2.).

5. Задача текущего производственного планирования (см. пример 1).

6. Задача перспективного оптимального планирования.

7. Задача планирования экономического комплекса.

Перечисление можно продолжать и продолжать, но все эти задачи в первую очередь касаются эффективного распределения ограниченных ресурсов. Рассмотрим некоторые из них более подробно на приведенных ниже примерах.

Пример. 1. Требуется распределить задание по производству видов продукции междупредприятиями. Предприятиена производство единицы продукциитратитединиц своей мощности и несет дополнительные затраты в размере. Предполагаются известными мощностьпредприятияи необходимый объем производствапродукции вида. Пустьобъем производства продукции вида, который планируется произвести на предприятии, тогда задача рационального распределения заказов между предприятиями записывается в виде модели (1.1. – 1.4.), в которой равенства (1.2.) заменены неравенствами.

Пример 2. Требуется составить план перевозок топлива разных сортов из пунктов производства в пункты потребления. Обозначим черезспрос пункта(в единицах тепловой энергии), а через- объем топлива, добытого в пункте. Будем считать, что в каждом пункте производства добывается свой сорт топлива. Коэффициент теплоотдачизависит от сорта (номера пункта производства) и от условий использования (номера пункта потребления). Пусть- объем топлива сорта, поставляемого потребителю,- затраты, связанные с перевозкой 1 т топлива сортапотребителю. Наиболее экономный план перевозок топлива, обеспечивающий спрос всех потребителей при наличных запасах топлива, удовлетворяет схеме (1.1. – 1.4.), в которой равенства (1.3.) заменены неравенствами. Функция цели (1.1.) определяет суммарные издержки на перевозку. Ограничения (1.2.) означают, что объем топлива (в приведенных единицах теплоотдачи), доставленного в пункт, равен спросу в этом пункте. Условия (1.3.) означают, что общий объем топлива, направляемого во все пункты потребления из пункта, не превышает запасов топлива сорта.

К модели (1.1.-1.4.) при соответствующих предположениях сводятся задачи распределения самолетов между воздушными линиями, рационального использования машинно-тракторного парка в сельскохозяйственных предприятиях, планирования работы речного флота, распределения башенных кранов между строительными площадками, распределения посевной площади между сельскохозяйственными культурами, рационального смешивания нефтепродуктов для получения бензинов (или других продуктов) с заданными техническими характеристиками и др.

Для решения распределительной задачи разработан ряд экономных методов, наиболее эффективные из них обобщают венгерский метод и метод потенциалов для транспортной задачи.